在应用回归分析处理实际问题时,为了减少模型误差,一般会引入较多的自变量,但不可避免的会出现某些自变量对因变量影响很小或没有影响,这样不仅会增加计算的复杂程度,同样也会降低模型的可解释性与预测精度,同时也会增加获取数据的代价。于是从众多特征变量中选取一些重要的特征变得非常重要。Tibshirani提出了Lasso回归方法,这个方法能够通过对回归系数的调节将某些系数压缩到0,从而实现变量选择。Lasso方法因为具有优秀的稀疏化能力以及高效的运算速度成为应用最广泛的变量选择方法之一,这也引发了很多统计学家在Lasso的基础上做更深入的研究。Zouhui提出了Adaptive Lasso方法,它是对Lasso方法的改良,通过对不同的回归系数施加不同程度的调节,Zouhui展示了Adaptive Lasso在变量选择的准确性与模型预测上有更好的表现。主成分分析（PCA）是一种常见的数据处理技术和降维方法,通过获取少数几个主成分以减少特征的数目。但是由于它的每个主成分都是原始特征的线性组合,导致每个主成分的含义通常都难以解释,于是主成分的稀疏化是一个非常重要的问题。Zouhui提出稀疏主成分分析（SPCA）方法,将主成分稀疏化的求解转化为求解一个elastic net回归问题,不仅使得计算主成分稀疏化问题的效率大大提高,也沟通了主成分分析问题与回归分析问题之间的渠道,使得主成分分析问题与其稀疏化问题有了一个全新的分析角度。本文就是沿着Zouhui解决稀疏主成分分析的角度,将Adaptive Lasso方法与SPCA方法结合起来,使得在处理主成分的稀疏化时,其结果也能“继承”Adaptive Lasso在变量选择问题中的优点,从而达到更好的稀疏化结果。本文第二章主要介绍几种经典的回归和变量选择方法,以及他们的基本定义和性质。同时结合理论解的图像,更清楚地展示惩罚函数对各种变量选择方法的影响。最后,介绍了Adaptive Lasso方法较之Lasso方法的优点,为之后的研究做好理论准备。文章第三章主要介绍主成分分析和稀疏主成分分析的理论与实例验证。主要介绍主成分分析的定义及相关定理以及具体算法步骤,并通过具体的例子展示主成分的可解释性很差。之后介绍了 Zouhui的稀疏主成分分析（SPCA）的理论方法,给出具体的定义、相关的定理以及具体算法。最后通过实例验证,并与PCA的实例进行对比,展示了SPCA在损失很小的方差贡献率的基础上,得到了优秀的稀疏化的主成分结果,大大提高了主成分的可解释性。文章的主要创新点在于将Adaptive Lasso与SPCA方法结合,提出了一种A-daptive Lasso惩罚下的稀疏主成分分析方法,并给出相应的算法。同时通过实例验证与模拟数据说明了,在相同的情形下,Adaptive Lasso惩罚下的稀疏主成分分析较之SPCA有更好的实验结果,可以更好地选择特征,损失更少的方差贡献率。总之,新方法是对SPCA方法的一种合理改良。