【摘 要】
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基于迭代函数系(Iterated Function System,IFS)的理论,Barnsley于1986年提出了分形插值函数(Fractal Interpolation Function,FIF)的概念以及构造方法.传统的插值方法产生的插值函数通常是光滑的或逐段光滑的,它们在拟合非光滑、不规则的现象和事物时显得乏力.而分形插值函数是不规则的,且具有很强的灵活性,因而成为刻画具有自相似性的事物和
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基于迭代函数系(Iterated Function System,IFS)的理论,Barnsley于1986年提出了分形插值函数(Fractal Interpolation Function,FIF)的概念以及构造方法.传统的插值方法产生的插值函数通常是光滑的或逐段光滑的,它们在拟合非光滑、不规则的现象和事物时显得乏力.而分形插值函数是不规则的,且具有很强的灵活性,因而成为刻画具有自相似性的事物和现象的有力工具.这些事物和现象在自然界中是广泛存在的.如今,分形插值的理论和方法已经渗透到经济、金融、计算机科学等众多领域.本文基于已有的分形插值理论的相关研究成果,构造了一类由若干个参数的抽象函数构成的IFS,讨论了这类IFS的吸引子的存在性,给出了具体的算例,绘制出对应的图形.随后讨论了在IFS和给定的数据集分别发生微小扰动的情况下,FIF的变化情况,并给出了扰动误差估计式.本文构造的IFS较文献中已有的IFS更具一般性和灵活性,给出的扰动误差估计式涵盖了众多类型的FIF的扰动误差形式.本文内容安排如下:第一章,简要介绍了分形插值理论与方法的产生背景,对已有的相关研究成果进行了介绍,阐述了本文的主要工作以及研究意义.第二章,介绍了分形插值理论与方法的相关概念以及基本定理,它们是本文研究的理论基础.第三章,用含有三个参数的抽象函数构造一元IFS,给出两个具体的算例,绘制出对应的FIF的图像.随后,讨论了当IFS中的自由参数以及数据集的坐标发生微小扰动时,FIF在扰动前后的变化情况,给出了扰动误差估计式.第四章,将第三章中构造一元IFS的方法推广到二元IFS的情形,用含有五个参数的抽象函数构造二元IFS,证明了这类IFS的吸引子的存在性和唯一性,且该吸引子恰好是经过给定插值点的连续函数的图像,给出一个具体的算例,并画出分形插值曲面的图像.随后,研究了当IFS中的自由参数以及数据集中的竖坐标发生扰动时,FIF的变化情况,给出了具体的扰动误差估计式.第五章,对本文的研究进行总结并对未来的研究工作进行了展望.
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