【摘 要】
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著名的Hilbert第十六个问题的第二部分是寻求任意n次平面多项式微分系统的极限环的最大个数和分布问题.一个多世纪以来,关于这个问题的研究已经得到了很多的结果.但是至今,即
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著名的Hilbert第十六个问题的第二部分是寻求任意n次平面多项式微分系统的极限环的最大个数和分布问题.一个多世纪以来,关于这个问题的研究已经得到了很多的结果.但是至今,即使对于n=2也仍是公开的问题.本论文运用动力系统分支理论的平均方法分别研究了两类多项式微分系统的极限环的个数和表达式.全文共分为三章.第一章是绪论,主要介绍多项式微分系统的极限环与分支理论等问题的历史背景和研究现状,并简要说明本文所做的主要工作.第二章讨论广义Lienard多项式微分系统x=y-ε(g11(x)+f11(x)y)-kε2(g12(x)+f12(x)y),y=-x-ε(g21(x)+f21(x)y+h21(x)y2)-kε2(g22(x)+f22(x)y+h22(x)y2),分别在k=0和1两种情况下的极限环个数问题.即利用一阶、二阶平均方法,我们得到此系统从线性中心x=y,y=-x的周期轨分支出来的极限环的最大个数.本章内容改进了[36]的相关结果.第三章研究五次多项式微分系统x=P1(x,y)+P5(x,y), y=Q1(x,y)+Q5(x,y),极限环的形状问题.更确切地说,利用平均方法,我们具体给出此系统从Hopf分支出来的极限环和从线性中心x=-y,y=x的周期轨分支出来的极限环的渐近表达式.
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