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本文研究如下Hamilton系统周期解的存在性和唯一性：其中T0,F:R×RN→R关于t是T-周期的,而且满足下面的条件： (A)F(t,x)对每个x∈RN关于t是可测的,对a.e.t∈[0,T]关于x是可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1(0,T;R+)使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t)对所有x∈RN及a.e.t∈[0,T]成立. 已经有很多学者得到了Hamilton系统的周期解,但很少有人得到系统(P1)解的唯一性,只有参考文献中得到了这样的结果,具体地说就是下面的定理：定理A(定理1.1)若(A)成立,而且存在f,g∈L1(0,T;R+),0α≤1和口0满足下面的条件： (F1)(▽F(t,x)-▽F(t,y),x-y)0,当x≠y时,对所有的t∈R,x,y∈RN都成立, (F2)|▽F(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t), (F3)1/2-(2α-1β)/12-C00, (F4)lim inf|x|→∞[|x|-2α-∫0TF(t,x)dt-C1]0,对所有x∈RN都成立,这里那么系统(P1)在HT1中有唯一T-周期解。 定理A的条件比较复杂,本文在比定理A更简单的条件下,利用极小化作用原理同样得到了系统(P1,)周期解的唯一性,即下面的定理1：定理1若(A),(F1)成立,而且满足(F5)当|x|→∞时,有∫0TF(t,x)dt→+∞成立,那么系统(P1)在HT1中有唯一T-周期解。 考虑二阶Hamilton系统-u(t)=▽F(t,u(t)),任意t∈[0,T,(P2)这里T0,F:R×RN→R关于t是T-周期的(T0),而且满足下列条件：(A)F(t,x)关于t是可测的,而且对于任意的x∈RN关于x和a.e.t∈[0,T] 是连续可微的,而且存在a∈C(R+,R+)和b∈L1(0,T;R+)使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t)对任意的x∈RN和a.e.t∈[0,T]都成立. 对于系统(P2)周期解的存在性已得到了很多的结论.许多可解性条件已得到证明,比如,次二次条件;凸位势条件;非一致强制条件;偶位势条件；变号位势条件; γ-拟次可加性位势条件;超二次条件,局部超二次条件.特别是在2006年,Schetcher得到了周期解存在的一些结论.更准确点说,他们是得到了下面的定理：定理B.假设F满足：(H1)F(t,x)≥0,t∈[0,T],x∈RN.(H2)存在一个常数q2使得F(t,x)≤C(|x|q+1),对于t∈[0,T],z∈RN都成立.
(1)而且存在常数m0,α2π2/T2,满足F(t,x)≤α|x|2,对任意|x|≤m,t∈[0,T],x∈RN都成立.
(2)(H3)存在一个常数μ2,使得(Fμ(t,x))/(|x|2)≤w(t)∈L1([0,T]),对于|x|≥C,t∈[0,T],x∈RN都成立,对于a.e t∈[0,T]是一致的. 这里Fμ(t,x)=μF(t,x)-(▽F(t,x),x).(H4)存在常数β2π2/T2和C0满足F(t,x)≥β|x|2,对于所有的|x|C, t∈[0,T], x∈RN都成立.那么系统(P2)有一个非平凡解. 定理C(参见[14]中的定理1.1).当定理B中的条件(H2)被下面的条件替换时,我们的结论仍然成立。(H2)存在常数m0和β≤6m2/T2使得F(t,x)≤α,|x|≤m,对所有的t∈[0,T], x∈RN都成立. 然而,众所周知对于系统(P2)在局部超二次条件下具有非平凡T-周期解迄今为止很少有人得到这样的结论,只有一处考虑过这种情况.所以,我们将考虑系统(P2)在局部超二次条件下解的存在性问题.主要结论如下：定理2假设F满足条件(A),(H1),(3.2),(H3)和下面的定理：(H4)若E包含于[0,T],而且存在E的一个正测度子集使得 lim inf|x|→∞(F(t,x))/(|x|2)0对a.e.t∈E都成立.那么系统(P2)至少存在一个非平凡T-周期解.定理3假设F满足(A),(H1),(H2),(H3)和(H4).那么系统(P2)至少存在一个非平凡T-周期解.