【摘 要】
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本文研究了关于图的围长、周长、哈密尔顿圈的个数、边数和顶点类型的几个问题.主要内容分为以下几个部分:1.证明了:（1）半径为r,直径为d的图的最大围长是2r|1;（2）每个以r为半径、d为直径的图都有一个块,这个块的直径至少是2r-d.结果（1）回答了 Ostrand在1973年提出的一个问题并且使得如下经典定理变得显然:Moore图是自中心的.结果（2）可以直接推出Hrnciar对于Ostran
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本文研究了关于图的围长、周长、哈密尔顿圈的个数、边数和顶点类型的几个问题.主要内容分为以下几个部分:1.证明了:（1）半径为r,直径为d的图的最大围长是2r|1;（2）每个以r为半径、d为直径的图都有一个块,这个块的直径至少是2r-d.结果（1）回答了 Ostrand在1973年提出的一个问题并且使得如下经典定理变得显然:Moore图是自中心的.结果（2）可以直接推出Hrnciar对于Ostrand提出的另一个问题的答案.2.证明了n阶哈密尔顿阈值图的哈密尔顿圈的最少个数是2[（n3）/2]并且刻画了取到最少个数的唯一的图,这个图的度序列是由n-1,n-1,n-2,…,[n/2],[n/2],,3,2这n—2个不同的整数构成的序列.3.解决了Beineke,Dunbar和Frick在2005年提出的以下三个问题:（1）围长为4的迂回饱和图的最小阶数是什么?（2）设Pr是将Petersen图的一个顶点分裂成三个叶子所得到的图.Pr是所有至少有一个圈的无三角形的迂回饱和图中最小的吗?（3）是否存在围长大于5的迂回饱和图?4.詹在2007年提出了如下的问题:确定至多只有一条起点和终点相同的长度为k的途径的有向图的最多边数并且刻画取到最多边数的图.对于最多边数,我们确定了4≤≤n-4的情形;对于极图,我们刻画了5≤k≤n-2的情形.5.给出了经典的Ore定理的一个简短的新证明,该定理确定了给定阶数和直径的图的最大边数.6.解决了Hedetniemi和Lewis在2013年提出的如下三个问题:（1）具有n-2个非常典型顶点的图的最小阶数n是什么?（2）具有n-2个典型顶点的图的最小阶数n是什么?（3）泛典型图的最小阶数是多少?实际上,我们确定了这三类图的所有可能的阶数。
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