本原多项式的分布问题是计算数论中的一个基本问题,在密码学,编码理论,数字水印等诸多领域都有重要应用。1992年,Tom Hansen与Gary L.Mullen[34]提出了关于Fq上指定任意单系数的本原多项式存在性的猜想,即著名的Hansen-Mullen猜想。由于直接计算多项式系数十分困难,可以通过p-adic分析,指数和,筛不等式等工具,将其分解为一系列简单的充分条件。本文根据S.D.Cohen的工作,对指定单系数的次数高于9次本原多项式的存在性进行了研究。本文另外对有限域上的多项式算法进行了研究,包括基本算法,不可约多项式搜索算法,多项式分解以及本原多项式搜索算法。了解本原多项式的分布情况,可以对搜索特殊性质的本原多项式起到指导作用。根据本原多项式的定义搜索本原多项式,涉及有限域上的本原根以及极小多项式的计算,时间空间复杂度很大,并且不能先验指定特定项的系数,不能作为有效的搜索算法。本文利用本原多项式的性质设计筛式算法,对候选多项式进行判定,极大减小了运算规模。这是本论文的创新点。