【摘 要】
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分数阶随机偏微分方程是近几年来数学界的热门研究方向之一.由于分数阶微积分算子具有遗传性和记忆性,可以描述很多带有噪声扰动的反常扩散现象.因此分数阶随机偏微分方程模型被应用于粘弹性力学,多孔介质的弥散,分型理论,神经科学等多个领域.本篇论文中我们主要介绍了关于Caputo分数阶随机Allen-Cahn方程的温和解的理论分析和数值计算.本文在结构上分为五章来阐述.第一章介绍了随机偏微分方程的研究背景和
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分数阶随机偏微分方程是近几年来数学界的热门研究方向之一.由于分数阶微积分算子具有遗传性和记忆性,可以描述很多带有噪声扰动的反常扩散现象.因此分数阶随机偏微分方程模型被应用于粘弹性力学,多孔介质的弥散,分型理论,神经科学等多个领域.本篇论文中我们主要介绍了关于Caputo分数阶随机Allen-Cahn方程的温和解的理论分析和数值计算.本文在结构上分为五章来阐述.第一章介绍了随机偏微分方程的研究背景和历史发展过程,并且叙述了随机分数阶微分方程目前国内外的研究现状;第二章,首先介绍了一些预备知识和若干重要的定理引理,其次,构造出了分数阶随机Allen-Cahn方程的温和解;第三章我们利用Picard’s迭代证明了温和解的存在唯一性,并且通过分数阶微积分运算和半群理论分析了温和解的正则性;第四章,我们介绍了有限元算法,先利用Galerkin有限元方法对方程空间半离散,得到了有限元温和解的正则性,并对其进行了误差分析;然后基于Mittag-Leffler特殊函数构造全离散格式及误差分析;第五章是本文总结以及未来工作的展望.
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