在应用科学和工程中,很多问题无法得到解析解,因此我们就得研究数值方法。所谓数值方法,就是在计算机上求解问题,从一个初始值出发,通过一个数值方法,在大量的(有时甚至是巨量的)计算后,得到一系列的值,每一个数值近似地表示问题在某个时刻的解。而且,数值方法还能让我们模拟许多在实验室中无法实现的问题,比如说需要在极高温,极高压等极端条件下进行的问题。微分方程数值分析作为科学计算中一个比较活跃的分支,已经有一百多年的历史了,其应用广泛,理论丰富。在算法构造和分析上已经形成了两大研究领域。一个是针对非刚性微分方程的研究。非刚性领域的先行者有:Adams,Bashforth,Runge,Heun和Kutta等人。自从十九世纪以来,他们已经构造了大量的有效的积分方法。这些方法大都是显式方法,在实际问题中一般易于应用。另一个是针对刚性微分方程的。二十世纪中叶以来,人们意识到,由于稳定性的限制,早期的积分方法对某些类型的微分方程并不适用。这些问题就是我们提到的刚性问题。由此,新的数值积分方法(以隐式方法为典型)和数值积分理论发展起来了。Hamilton系统在模拟守恒物理过程(如分子动力学,天文学)方面起着举足轻重的作用。常见的情况是,这些系统具有某些特性,如振荡性,满足守恒律等。在积分这类系统时,我们自然想长期保持这些性质。然而,经典的方法,无论是显式方法还是针对刚性问题的隐式方法,都不能得到满意的结果。近二十年来,人们找到了一类著名的方法,称为几何积分法,这类方法能够保持精确流的几何性质,从而大大改善了数值解的长期行为。　　 本文研究模拟分子动力学的Hamilton系统的几何数值积分。当然同样分非刚性和刚性两个方面加以讨论。需要指出的是在此处刚性也就是指高振荡。第二章和第三章研究非刚性Hamilton问题以及求解它们的扩展RKN类方法(Extended Runge-Kutta-Nystr(o)m methods)。我们利用向后误差分析这样一个重要的工具,来理解数值解的长期行为。第二章中分别由树理论和B级数理论研究了这类方法的阶条件。第三章构造了三个具体的方法,数值实验显示,与已有文献中的一些方法相比,这些方法的计算效率更高。第四章和第五章探讨刚性Hamilton问题。但是,向后误差分析只适用于非刚性问题,对高振荡问题不能提供任何有用的信息。为了理解刚性Hamilton方程的数值方法的长期行为,我们引入一个新的工具,即调变Fourier展开。在第四章中我们给出了高振荡Hamilton问题的精确解的调变Fourier展开,并证明系统的调变Fourier展开式的Hamilton函数和原问题的Hamilton函数仅仅相差一个一阶项,而Hamilton函数,是“几乎不变量”的。对于振动能量,也有类似的结果。第五章对高振荡Hamilton系统提出“扩展St(o)mer-Verlet方法”(the extendedSt(o)mer-Verlet method),并讨论数值解的调变Fourier展开,得到类似于精确解的结果。