多元样条在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计和有限元等领域中均有很广泛的应用.在本文中,我们一方面继续研究某些有很重要应用价值的特殊三角剖分上的多元样条,着重讨论了均匀2-型三角剖分上样条空间的性质,同时也考虑了一般三角化四边形剖分和三维空间中四面体剖分的情况.另一方面积极地将多元样条理论方面获得的结果应用到实际工程中,如计算机辅助几何设计和有限元方法.主要工作如下:在第二章中,我们讨论了2-型三角剖分上异度样条空间的性质.考虑当剖分是均匀的情况,这种剖分是一类特殊的贯穿剖分,也称为四方向剖分,因为其结构简单,对称性好,在实际中有很广泛的应用.为了摆脱刻划样条次数和光滑度之间关系的基本不等式的限制,考虑分别在矩形剖分线和对角剖分线上采用不同的光滑度,从而获得了更多样条空间上的丰富结果.我们主要讨论了应用比较广泛的三次和四次样条空间的情况.借助光滑余因子协调法,我们构造了各个空间的具有局部支集的样条基函数,并利用这些基函数构造保持高阶精度的样条拟插值算子,深入讨论了它们的逼近性质,给出了逼近误差的估计,同时利用拟插值算子讨论了样条空间的逼近阶.在第三章中,我们研究了二元样条函数在计算机辅助几何设计中的应用.非均匀有理B样条(NURBS)方法已经成为用于曲线曲面描述的广为流行的技术.但是,采用张量积形式的传统NURBS方法也存在一些不足.其一,由于基函数是一元B样条基的张量积,使得其参数域只能是矩形区域.而对于非规则的参数域,只能由矩形域上的NURBS曲面经过裁剪和拼接得到.但是,一方面裁剪是昂贵的,而且有数值误差;另一方面,要在曲面的接缝处保持光滑,即使是近似的平滑也是困难的.从控制顶点的角度看,张量积型的基函数使得控制顶点在拓扑上必须位于矩形网格上.这意味着,NURBS曲面的大部分控制顶点的存在只是为了满足这种拓扑约束,它们并不含有特别的几何信息,因此是冗余的.其二,张量积的基函数使得曲面的次数升高.例如,一张p×q次的B样条曲面虽然在等参数线上是p或者q次的参数曲线,但整个曲面的次数却为p+q次.代数次数较高的曲面使得与之相关的运算变得更复杂,甚至影响曲面的几何性质,如出现多余的拐点等.这些缺陷,都是张量积型曲面本身不能克服的.而现阶段对非张量积型参数曲面的研究只限于三角域(单纯形)上的Bernstein-Bézier(B-B)曲面,由于参数域的不同,不可能直接将三角域上的B-B曲面转化到四边形区域上去.为了解决上述问题,我们采用具有局部支集的二元B样条基函数构造非张量积型的NURBS曲面.对于矩形参数域,我们利用2-型三角剖分上各样条空间中的基函数系统地构造了二次、三次和四次非张量积型NURBS曲面.由于每个二元B样条基具有单独的局部支集,并可以根据各种参数域的形状选取满足相应光滑度和支集形状的样条基,而且整体次数较低,从而能够很好地克服上述传统NURBS曲面由张量积引起的问题.与这些基函数所对应的控制顶点也不再要求必须位于矩形网格上.在第四章中,我们讨论了样条有限元方法.现阶段,样条函数在有限元方法中的应用多数是一元的B样条或者张量积型的B样条,而对于多元样条,只有少数的文献研究了2-型三角剖分上二元二次B样条的简单应用.对于三维空间中的金字塔单元,至今为止,还没有构造出同时满足协调性和非奇异性条件的多项式单元形状函数.