积分的近似计算有着广泛的应用背景，如微分方程数值解，数值求解积分方程，乃至工程、物理与金融等学科的许多问题都涉及到积分的近似计算，其重要性和必要性在Davis和Rabinowitz的专著[8]里已有充分的论述，我们在这里不再多费赘述。 本报告是作者在站期间部分工作的总结，主要讨论若干求积公式，大致上可以分为两大部分，共五章。第一章是插值型求积公式的基础—插值。第二章-第四章的主题跟Gauss求积公式，特别是与Gauss-Turán有着密切的关系。这些构成第一部分。第五章讨论Ostrowski不等式的推广及与之相关的若干求积公式对于某些函数类的误差估计。这些课题都是目前的研究热点。下面我们分章做一个粗略的介绍。 正如[20]所言，差商和插值是非常重要的解析运算工具和技巧，它们有着广泛的应用.20世纪初出现的Faber定理(即Lagrange插值过程的发散性)，在一定程度上引起了恐慌和误导，似乎削弱了插值作为一种逼近工具的重要性.种种迹象表明，差商和插值的许多性质和运算技巧逐渐淡出研究者的视线，以致于某些经典的结果又被重现. 虽然许多数值分析和逼近论方面的教科书对一般Hermite插值多项式的显式表示有点语焉不详，但Berezin和Zhidkov的书[3]还是解说得相当清晰和详尽。关于一般Hermite插值多项式的显式表示，文[47]的引理1仅为[3]中一个更为一般结果的特殊情形。如果把重节点差商理解为一种极限，且承认Newton插值公式中的差商允许带重节点，利用Newton插值公式与插值多项式的唯一性，我们即可得到一个相当紧凑而便于记忆的Hermite插值多项式的统一表示，而文[4]的一个重要结果就可轻松地被纳入其中。 在对Hermite插值多项式的显式表示做了系统的梳理和表述后，我们在第一章的稍后汇总了第二章到第四章要用到的差商的一些展开式，并且给出了一些差商的恒等式。这其中一些是新的，另一些文献里已经出现过，但我们给出了构造性的证明，我们认为其证明充分地体现了差商这个解析工具的特点和威力。 第二章的论题首先由Gori和Micchelli所研究[17]，它也与著名的Turán问题26有关。 著名数学家Turán在1950年发表了[49]，他把Gauss求积公式推广到了带被积函数导数值的情形，并证明了一般的存在性定理。然而，即使是最简单的情形，他也并没有给出Cotes系数的显式表示.后来，他又发表了著名的文章《逼近论中的某些公开问题》，该文最早是在1974年以匈牙利文在Math.Lopak上发表的，Turán死后由P.Szüsz译成英文[50].其中的第26问题为 问题26给出下列Gauss-Turán求积公式中的Cotes数λij的显式及当n→∞时λij的渐近行为.∫1-1f(x)dx/√1-x2=n∑i=12s∑j=0λijf(j)(xi)，f∈P2(s+1)n-1,其中n为自然数，s为非负整数，x1，…，xn是n次第一类Chebyshev多项式Tn的零点，Pn表示所有次数≤n的多项式空间. 该问题吸引了众多研究者的兴趣。Kis给出了Turán问题26在周期情况下的解答，Micchelli和Sharma联系上Kis的结果用相当迂回的办法解决了Turán问题26.Varma[52]用不同的方法给出了部分结果，史应光[40]用另一个方法也得到了完整的解答。 Gori和Micchelli[17]引进了一类权函数，它们包括了相当广泛的权函数，当然也包含第一类Chebyshev权函数(1-x2)-1/2,并且允许有显式的Gauss-Turán求积公式。众所周知，此时，求积分问题可以归结为求被积函数的Fourier-Chebyshev系数，而为了求出被积函数这些系数的表示，Gori和Micchelli是用他们研究团体习惯的形式幂级数展开的技巧来解决的。他们首先用Fourier-Chebyshev系数的一个无穷级数把被积函数导数在第一类Chebyshev节点上的重节点差商表示出来，然后逆转得到的无穷级数求得这些Fouruer-Chebyshev系数。这过程需涉及到无穷三角阵的求逆，还得分情形求。值得一提的是，除了给出Fourier-Chebyshev系数的极为简单的几项外，他们并没有把所得的差商表示再进一步展开。 第三章是把第二章中的主要思想推进到一个新的高度。在这里，我们考虑关于第一类Chebyshev权函数基于第一第二类Chebyshev节点的Gauss型求积公式，它的许多特殊情形已经得到了广泛的研究。它一方面以Gauss-Turán求积公式作为特例，另一方面也包含着GaussKronrod求积公式.这里所用的方法具有一般性，还可以进一步推广.尽管史应光[42]也曾考虑过类似的问题，但这里的新意有二.为了得到简洁整齐的表示，我们对插值节点的重数做了策略性的调整，达到了理想的效果；展开求积公式的重节点差商表示后，我们得到了显式表示.这里的展开要比第二章复杂得多.我们认为，最后的显式表示(尽管有些复杂)用[42]的办法是很难得到的. 第四章与第三章紧密相连，它从另一个角度重新审视第三章的所考虑的求积公式.这里获得的结果有其独立的意义，也从另一个方面再一次揭示了差商和插值的解析运算技巧. 积分不等式可以说是求积公式的孪生兄弟.求积公式的误差估计与积分不等式紧密相关.第五章的内容就是关于Ostrowski不等式及其在数值积分的误差估计的.受王兴华[55]的主要思想和技巧的启发，我们削弱了Ujevi(c)[51]一文的主要结果里强加于被积函数的条件，给出了比[51]更一般的Ostrowski不等式.同时，我们也解答了Cruz-Uribe和Neugebauer在文[6]中所产生的疑虑.为了得到比较简洁明快的结果，我们宁可牺牲更为一般的条件.事实上，本章的许多结论在更为广泛的条件下成立。这些也许可以作为将来做进一步研究的引子.