在保险精算文献中，普通的离散时间更新风险过程一般都假定在初始零时刻有一次索赔发生，这种假设条件通常与保险实际不相符合。这个问题可以由延迟更新风险过程解决，即假设第一次索赔发生的时间与随后的索赔间隔独立但可能具有不同的分布。本文以几类离散时间延迟更新过程的期望贴现罚金函数为研究对象。具体内容包括：第一章回顾了经典的离散时间更新风险过程的相关研究，包括复合二项模型、索赔间隔具有K_m分布的离散更新模型、具有一般索赔间隔时间的离散更新模型等。第二章研究了两类特殊延迟更新风险过程的期望贴现罚金函数，其中第一节介绍的模型的基本结构；第二节将特殊延迟更新过程下的罚金函数用普通更新过程下的罚金函数表示出来；第三节则研究了平稳更新过程下的赤字尾分布，获得了两种形式的表达式。第三章研究了几何索赔条件下的延迟更新过程的罚金函数的解析表达式。其中第二节给出只涉及赤字分布的φ_v,1^d（u）的表达式，而第三节获得了涉及赤字和破产前盈余φ_v,s^d（u）的表达式。