众所周知，解析数论是数论中以解析方法作为研究工具的一个分支.关于一些算术函数的算术性质及其应用在数论的研究中占有很重要的地位，许多著名的数论难题都与之密切相关.因而研究它们的性质具有很大意义. 1993年，著名的罗马尼亚数论专家F.Smarandache教授在他所著的《OnlyProblems，Not Solutions》一书中提出了105个尚未解决的问题，其中许多问题都与数论有关. 本文基于对以上所述问题的兴趣，应用初等数论、解析数论等相关知识对一些特殊函数的性质进行了研究，通过对其性质的研究，我们构建了几个方程，并用初等的方法得到了它们的所有的正整数解.与此同时，我们还对Smarandache型函数的无穷级数进行了研究.具体来说，本文的主要成果包括以下几个方面： 1.对任意的正整数n和k≥2，n的Smarandache k次补数ak(n)被定义为最小的正整数，使得nak(n)是一个完全k次幂.即就是 ak(n)=min｛1:l.n=mk，l,m∈N｝.第三章主要依据k次补数的定义和性质，研究了包含k次补数的方程的可解性问题，并利用初等方法获得了方程的所有正整数解. 2.通过研究Smarandache型可乘函数Dm(n)的性质，构建了方程 Dm t+r(n)+Dm t+r-1(n)+…+Dm t+1 (n)=n， r>1并用初等的方法完全解决了它. 3.关于Smarandache型函数的无穷级数，本文运用解析的方法研究了它的收敛性，同时给出了几个重要的恒等式.