【摘 要】
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20世纪90年代,Chen等人受量子理论的启发首次利用重整化群方法研究奇异摄动问题.重整化群方法的基本思想是首先得到所考虑问题解的直接展开式,然后找到并分离展开式中的长期项,进而建立重整化群方程,最后通过重整化群方程的解构造原问题的一致有效的近似解.与经典摄动方法(伸缩坐标法,匹配渐近展开法,多尺度法等)相比,重整化群方法不需要过多的限制与假设,并且能广泛应用于各类微分方程摄动问题的近似求解.但是
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20世纪90年代,Chen等人受量子理论的启发首次利用重整化群方法研究奇异摄动问题.重整化群方法的基本思想是首先得到所考虑问题解的直接展开式,然后找到并分离展开式中的长期项,进而建立重整化群方程,最后通过重整化群方程的解构造原问题的一致有效的近似解.与经典摄动方法(伸缩坐标法,匹配渐近展开法,多尺度法等)相比,重整化群方法不需要过多的限制与假设,并且能广泛应用于各类微分方程摄动问题的近似求解.但是据我们所知,利用重整化群方法研究随机奇异摄动问题的工作很少.本文的主要工作是利用重整化群方法研究一类非线性随机奇异摄动问题,通过构建相应的随机重整化群方程,得到随机奇异摄动问题的一致有效渐近解,并从理论上给出了适度解与渐近解的误差估计.具体地,我们考虑如下形式的随机微分方程初值问题:其中ε是小参数,Xε是n维列向量,A是特征根均为纯虚数或均为非负数的对角矩阵,F是n维多项式向量,G是n阶多项式矩阵,W是n维标准布朗运动.本文结构如下.第一章为引言,介绍经典奇异摄动方法,重整化群方法,随机奇异摄动以及主要工作.第二章为预备知识,给出常用符号,重整化群方法的例子,随机微分方程的基础知识和重要引理.第三章为主要工作,利用重整化群方法构造逼近解并证明其一致有效性.
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