朗道相变理论体现了对称性在凝聚态物理物相研究中的重要性,而拓扑序和拓扑绝缘体的发现将数学中的拓扑概念引入凝聚态物理中。在拓扑绝缘体和拓扑超导体的研究中,研究者们发现拓扑会被体系内禀对称性所保护。因此,在这之后,对称性和拓扑相伴成为了重要的研究课题。拓扑晶体绝缘体不同于传统的拓扑绝缘体,除了内禀对称性之外,体系的晶体空间对称性也一起保护体系拓扑性质,这额外的对称性既增加了研究难度也带来了更丰富的物理现象。另一方面,传统的凝聚态物理体系有着厄米型哈密顿量,但是开放体系有着非厄米型的有效哈密顿量。对非厄米体系的研究发现,区别于厄米体系,非厄米体系有着独特的点能隙拓扑,这带来了包括非厄米趋肤效应,指数增长的格林函数等一系列有意思的物理性质。这篇博士论文中,我们将介绍拓扑晶体绝缘体和有非平庸点能隙拓扑的非厄米系统。这篇博士论文的结构如下:第一章是导论,我们简要回顾从整数量子霍尔效应到拓扑绝缘体的发展历程,并简要概括拓扑晶体绝缘体的主要特点,重要研究方法和问题。另外,我们由体边对应这一问题出发,引入非厄米系统非布洛赫能带理论的发展动机和过程,并介绍了非厄米趋肤效应。第二章介绍拓扑晶体绝缘体的基础知识,主要推导了研究拓扑晶体绝缘体拓扑和物理性质的重要方法:Wilson圈方法和对称性指标法。之后,我们介绍分别由嵌套Wilson圈和对称性指标描述的高阶拓扑绝缘体。最后,我们介绍拓扑晶体绝缘体分类的一般理论。第三章讨论我们在2维2重旋转对称性和时间反演不变体系的工作:提出基于对称化的提升Wilson圈的拓扑不变量。具体地,这一体系中,对称性指标是平庸的,但拓扑分类的结果预言了一个新的Z2拓扑不变量。我们提出了新的同伦不变量来刻画这一拓扑不变量,并在数学上证明其就是拓扑分类预言的不变量。我们的方法基于Wilson圈方法,但和通常的Wilson圈方法不同,我们的方法将Wilson圈和时间反演对称性提升到其万有覆叠群上,并研究Wilson圈在提升后的对称性保护下的拓扑类。我们得出,拓扑分类预言的不变量起源于万有覆叠群上时间反演对称性不动点集合的非连通性。我们纠正了之前文献认为的,4占据态情形,体系Wilson圈相位谱谱线的环绕只被Fu-Kane-Mele不变量保护的观点,并得出Fu-Kane-Mele不变量为0,而我们定义的同伦不变量非0的拓扑相所具有的无能隙Wilson相位谱是被保护的,从而得到这一拓扑相无法连续地形变为原子绝缘体。最后,通过我们找到的拓扑相不同而Wilson相位谱相同的两个例子,我们说明了常规的Wilson圈相位谱方法的失效性。第四章讨论我们在非厄米体系格林函数上的工作:得到端对端格林函数的精确公式,并推导出体内区域格林函数趋于广义布里渊区积分公式的速度。我们首先简要的回顾了一下非布洛赫能带理论和广义布里渊区,并介绍了基于广义布里渊区积分公式刻画开放边界条件下格林函数的工作和端到端格林函数在刻画信号放大上的作用。之后,我们介绍得到的端到端格林函数的精确公式。此外,我们验证了基于广义布里渊区的格林函数积分公式与体内区域格林函数吻合。进一步地,我们阐述随着系统规模的增加,体内区域处的格林函数趋近于广义布里渊区积分公式的速度不慢于指数衰减。最后,我们建立了信号放大和非厄米趋肤效应之间的对应关系。第五章,我们对本篇博士论文作出简约的总结和展望。