地图是从一个图Γ到一个曲面S的嵌入,使得每个S\(V∪E)的连通分支都同胚于一个开圆盘。研究地图的数学理论称为地图论或称拓扑图论,它是组合学的一个分支。依照将点,线,面分别看作支撑曲面上的0维胞腔,1维胞腔,2维胞腔的观点,我们可以看出对于每一个地图,我们都可以定义欧拉示性数,即面的个数加上点的个数减去边的个数,或用拓扑的语言表达,就是0维胞腔个数加上2维胞腔个数减去1维胞腔个数。欧拉示性数或称欧拉公式是经典地图理论的一个著名定理,它联系了多面体,拓扑和球面这些当时的重点研究对象。地图的欧拉示性数是地图非常重要的一个特征,因为从它可以看出许多地图的有趣性质。它是地图论的一个经典研究对象。最近几十年,地图论的内涵大大扩展了,传统的看待地图的观点被扩充成了三种,分别对应拓扑理论,黎曼几何理论以及群论。以群论的观点,具有某种对称性的地图可以由一个群和它的一些陪集表出,故而具有高对称性的地图与群论具有很深的联系,类似的联系同样体现在了高对称性图与群论之间的关系。一个地图M的自同构是旗集上保邻接关系的一个置换。所有这些置换构成一个自同构群,记作Aut(M).Aut(M)在旗集上的作用半正则,如果这个作用是正则的,则称M为正则地图。正则地图在某种程度上拥有最高的对称性而如果我们稍微放松这种对称性上的限制会得到什么就是这篇论文想要研究的内容。对于地图的对称性,我们有旗传递,弧传递,边传递等对称性。其中,旗传递就是自同构群作用在地图的旗集上是传递的(即正则地图)。这种对称性是最强的,因为一个旗传递地图必然是弧传递的,从而必然是边传递的。一个边传递地图就是自同构群在边上是传递的,弧传递图同理。本篇论文研究的双旋转地图就是一种特殊的弧正则图,它同样拥有一个比较高的对称性。为了定义双旋转地图,局部定向的概念不可或缺,它与拓扑有联系。一个地图称作是可定向的,如果它的支撑曲面是可定向。则此时我们可以诱导一个在底图的顶点附近的局部定向。当从一个顶点沿一条边上的充分小的窄带移动到另一个顶点时,这两个定向是一致的。现在,若地图(不一定是可定向的)上可以有一个在每个顶点的局部定向,它使得当从一个顶点沿一条边上的充分小的窄带移动到另一个顶点时,这两个定向总是相反的,则这个地图就称作双可定向的。对于双可定向地图,存在一种特殊的自同构群Aut(M)的子群,记作Aut~b(M),它由所有保局部定向的自同构组成,也称作双可定向地图的保双定向的自同构群。而一个双旋转地图就是一个双可定向地图,且满足Aut~b(M)作用在M的弧集上正则。我们研究的问题是分类所有的具有负素数平方欧拉示性数的双旋转地图,它联系了地图的这两个课题。将地图的问题转换成群的问题已被证明在解决具有高对称性的地图的问题时是非常有用的。十几年前,对于正则地图,人们在与这个类似的问题上取得了突破。更具体地说,就是对具有负素数欧拉示性数的正则地图进行了分类。这项研究由Breda,Nedela,?iráň在2005年做出。他其中使用了群论的表示方法并应用了一些深刻的群论结果。随后,人们跟随他的思路相继得出了关于具有负素数的平方的欧拉示性数的正则地图的分类和具有三倍负素数的欧拉示性数的正则地图的分类。此外,借助于计算机,目前对一些具有较大的负欧拉示性数的正则地图也已经有了完全的分类。但是对于双旋转地图,研究还不够充分。Breda,Catalano,?iráň在2019年发表了一篇论文,这篇论文解决了分类负素数欧拉示性数的双旋转地图的问题。在本篇论文中,它避免使用了非常深的群论结论并使用了对自同构群的阶进行分类讨论以及Fitting子群方法。本篇论文就沿着2019年的这篇文章思路进行研究并发展了原论文的工具。我们推广了一种双旋转地图的特殊情况,即当双旋转地图的弧的数目为通度和面的闭路圈长的最小公倍数且整体为不可定向地图时,这种双旋转地图的分类问题。这种情况直接来源于2019年的这篇论文,这篇论文使用的就是Fitting子群方法。但Breda,Catalano,?iráň在2019年的这篇论文只是单纯地讨论在欧拉示性数为负素数且欧拉示性数不整除这个地图的保双定向自同构群的阶(也即地图所包含的弧的数目)的情况下的分类。但我们意识到这个结果完全可以通过Poincaré引理进行推广,以至得到一种对不可定向的,弧的数目为度数和余度数的最小公倍数的双旋转地图的分类方法。这其中的关键点是观察到利用Poincaré引理可以得到整个保双定向自同构群是它的点稳定子群和面稳定子群的复杂积。从而由点稳定子群为循环群以及面稳定子群为二面体群得到整个群必然是可解群。由此便可重新引入Fitting子群方法。通过使用几乎一致的证明过程,我们便能给出弧的数目为通度和面的闭路圈长的最小公倍数的双旋转地图的分类。值得注意的是这个分类是完全独立于双旋转地图的欧拉示性数的。也就是这篇论文还解决了所有不可定向双旋转地图的分类的一种特殊情况。在Breda,Nedela,?iráň2019年的论文中,作者们的研究显示出对于欧拉示性数是否整除保双定向自同构群的阶(即弧的数目)的两种情况是完全不同的。不光是使用的方法还是得到的结果都有明显的区别。本论文同样采取这样的分类讨论方法。通过一个初等但不平凡的引理,我们发展了Breda,Catalano,?iráň的分类讨论方法。这个引理显示对于负的素数平方的欧拉示性数的双旋转地图,我们应该分为三类情况进行讨论,分别是欧拉示性数的素因子不整除保双定向自同构群的阶的情况,欧拉示性数的素因子恰好整除双定向自同构群的阶的情况以及欧拉示性数也即一个素数的平方整除双定向自同构群的阶的情况。之前提到的引理同样还是一种简便的方法,它可以用于简化其他类似的问题的一些论证。它显示了群方法在处理欧拉示性数只含有一到两个素因子的情况时非常有用。另外,这个引理也暗示了当前方法可能存在局限,尤其是在欧拉示性数拥有较多的素因子的情况,分类问题可能会变得异常复杂。对于欧拉示性数的素因子不整除保双定向自同构群的阶的情况,这种情况通过之前的引理可以得出此时地图必然是不可定向的且地图的弧的数目为通度和面的闭路圈长的最小公倍数,故而应用之前已经得到的这类特殊的双旋转地图分类,我们可以完全排除这种情况。对于欧拉示性数的素因子恰好整除双定向自同构群的阶的情况,应用之前的引理可以将其细分为两种情况,一种是弧的数目为通度和面的闭路圈长的最小公倍数,这种情况同样可以用已经得到的特殊的双旋转地图分类进行分析。最后我们排除了这种子情况。另一种子情况是弧的数目为p倍的通度和面的闭路圈长的最小公倍数,其中p为地图的欧拉示性数的素因子。这种情况我们应用了群论上Gorenstein的深刻定理,它是关于Sylow 2-子群为二面体群的群的分类定理。注意到在这种情况下,保双定向自同构群的Sylow2-子群为二面体群,且其他奇数阶Sylow子群均为循环群,所以自然地可以应用Gorenstein定理。我们分为可解和不可解两种情况来讨论。对于可解的保双定向自同构群,应用Fitting子群方法可以得出一个矛盾从而进行排除。而对于不可解的情况,通过使用Gorenstein定理发现同样是存在矛盾。故而综合起来看,上述两种子情况都是不可能的。因此只有最后一种情况,即欧拉示性数也即一个素数的平方整除双定向自同构群的阶的情况。这种情况与2019年那篇论文的情况类似,它同样具有某种程度的有限性,即地图的通度和面的闭路圈长只有有限多种可能性。通过类似2019年的那篇论文中的分析方法,我们发现对于负的奇素数平方的欧拉示性数,只有两个不同的双旋转地图且此时p=3.至于偶素数p=2的情况,这种情况的分类在Breda d’Azevedo,Antonio and Catalano,Domenico A.,和Duarte,Rui的2015年的一篇文章中已经被完全解决了。因此,不同于欧拉示性数为负素数的双旋转地图的分类,欧拉示性数为负素数平方的双旋转地图的种类十分有限。