【摘 要】
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由于分数阶微分方程具有遗传性、记忆性等特性,与整数阶微分方程相比,更能准确描述实际生活中的一些复杂现象.因此,其在生物、物理、工程、经济等方面也有着非常广泛的应用.目前,分数阶微分方程已成为国际理论研究的热点.相较于只含有分数阶右导数或左导数的微分方程,带有左右分数阶导数的微分方程作为一个新的热点领域,也具有广泛的应用,如研究疫苗在疫情中的抑制作用等问题时,常常构建具有左右分数阶导数的微分方程模型
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由于分数阶微分方程具有遗传性、记忆性等特性,与整数阶微分方程相比,更能准确描述实际生活中的一些复杂现象.因此,其在生物、物理、工程、经济等方面也有着非常广泛的应用.目前,分数阶微分方程已成为国际理论研究的热点.相较于只含有分数阶右导数或左导数的微分方程,带有左右分数阶导数的微分方程作为一个新的热点领域,也具有广泛的应用,如研究疫苗在疫情中的抑制作用等问题时,常常构建具有左右分数阶导数的微分方程模型.因此,研究具有左右分数阶导数的微分方程具有非常重要的现实意义.本文主要研究了具有左右分数阶导数的分段时滞微分方程边值问题,运用Guo-Krasnoselskii不动点定理,Leggett-Williams不动点定理,上下解方法,得到了方程满足多点非齐次边界条件的定解问题正解的存在性,不存在性以及多解性等多个结论.本文共五个章节组成,具体内容如下:第一章概述了分数阶微分方程的研究背景及国内外研究现状,着重介绍了各国学者在分数阶时滞微分方程领域取得的研究成果,以及本文所要研究的内容的新颖性.第二章介绍了与本文研究相关的一些基本概念,并给出了相关定义,引理以及所需要的基本理论等.第三章研究了一类具有左右分数阶导数和多个时滞的分段微分方程的多点边值问题.在这个系统中,状态变量在不同的时间间隔内满足不同的方程,它们之间通过正时滞和负时滞相互作用.利用Guo-Krasnoselskii不动点定理和LeggettWilliams不动点定理,得到了边值问题正解的存在性、不存在性和多重性等多个结论.其中,存在性结果突出了扰动参数的影响.最后给出了一个例子来说明我们主要结果的适用性.第四章研究了具有左右分数阶导数和时滞的分段微分方程非线性边界问题,作为一种特殊的非瞬时脉冲微分方程,该方程具有交叉时滞,且带有非线性边界条件.主要基于上下解方法得到了多个正解存在性定理.第五章回顾并总结了本文所研究的主要内容,根据这几类问题的研究状况,对今后工作进行展望,并给出几个可以研究的具体方程.
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