【摘 要】
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密码学作为网络安全的核心在保护数据的机密性,完整性和可用性方面有不可或缺的作用。流密码和分组密码计算量小,序列短且加密速度快,因此在计算机通信网中广泛使用。Bent函数在1976年由Rothaus介绍,它是仅仅对于偶数个变量的Boolean函数存在的最大非线性Boolean函数。应用高的非线性Boolean函数设计的对称密码系统使得该密码系统具有强的鲁棒性。Bent函数应用广泛不但在密码学中备受关
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密码学作为网络安全的核心在保护数据的机密性,完整性和可用性方面有不可或缺的作用。流密码和分组密码计算量小,序列短且加密速度快,因此在计算机通信网中广泛使用。Bent函数在1976年由Rothaus介绍,它是仅仅对于偶数个变量的Boolean函数存在的最大非线性Boolean函数。应用高的非线性Boolean函数设计的对称密码系统使得该密码系统具有强的鲁棒性。Bent函数应用广泛不但在密码学中备受关注而且在编码理论,序列理论,组合设计中有重要的应用。Hyper-bent函数是由Youssef和Gong在2001年提出的bent函数的一个子类。它的性质比bent函数的性质更强,然而hyper-bent函数比bent函数更稀少。迄今为止,bent和hyper-bent函数的完全分类目前仍然是模糊的,许多与bent和hyper-bent函数相关的问题仍然没有解决。Walsh变换是研究密码和编码的强有力工具,通过Walsh变换能够描述bent和hyper-bent函数的等价刻画。这篇文章不但呈现了部分bent函数的构造理论而且展示了部分二项函数fa,b（r）（x）的bent和hyper-bent性。当m是偶数时,在2009年Mesnager教授证明了有限域F2n上二项函数fa,b（x）是bent函数的必要条件。对于fa,b（x）是bent函数的充分条件的证明:通过应用Stickelberger定理,周期序列和图论的相关性质得到,如果a2m+1处的Kloosterman和满足Km(a2m+1)=4,那么二项Boolean函数fa,b（x）是bent函数。对于多项型Boolean函数,在2008年Charpin和Gong研究了系数ar∈F2m的hyper-bent性。在这篇文章中,通过建立系数在扩域上众多Boolean函数的hyper-bent性、指数和以及超椭圆曲线基数之间的联系,研究系数ar在扩张域F22m上多项型Boolean函数hyper-bent性的有效刻画。
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