本文研究在完备的金融市场中,单个风险资产与无风险资产之间的最优投资停时问题。本文采用的效用函数具有逆完全单调的特征,这类效用函数几乎包含了所有最优投资问题中的效用函数,具有很强的广泛性。本文运用动态规划原理,将最优投资停时问题转化为HJB变分方程求解,即自由边界问题。再运用对偶控制方法,等价得到一个线性偏微分方程的对偶自由边界问题。根据完全单调函数的性质,本文将这类逆完全单调效用函数涉及到的部分函数进行泰勒展开,再结合伽马函数的特点,将对偶效用函数转化为多项式形式。根据多项式的系数特点以及相关参数的大小,将对偶自由边界问题分为三类:无自由边界的情况、单个自由边界的情况和多条自由边界的情况。并且,给出了自由边界不存在的判定方法,以及存在性的判定条件。在自由边界存在的条件下,本文还研究了自由边界的数量与单调性,以及到期日附近的极限值。最后,根据强对偶性质与光滑粘结条件,可以得到原最优投资停时问题的自由边界。最后,本文选取对数效用函数、指数效用函数以及非双曲绝对风险厌恶（non-HARA）效用函数,运用二叉树算法证明理论分析结果的正确性。