本文研究了p-群的三个公开问题及有限几乎单群的数量刻画,全文共五章.第1章研究背景及主要结果首先,介绍了本文用到的常用符号,概念及定义；然后,介绍了本文研究的背景；最后,列出了本文的主要研究结果.第2章p-群的三个公开问题第1节,我们研究含有某些特殊有限中心化子子群的局部幂零p-群.这一问题与Blackburn在文献[2]提出的如下问题6相关：分类非交换p-群G,使得G含有p阶元t满足CG（t）=)×C,其中p>2且C（?）Cpm,m>1.我们在局部幂零p-群下,研究满足下列条件的群：1.群G中存在某子群H使得CG（H）=H,其中|H|=p2或者|H|=p3且H为初等交换群；2.群G中存在某元素x使得CG（x）=×C,其中|x|=p且C是pm阶的循环子群,这里m>1.当条件1成立时,我们证明了：如果G是局部幂零p-群,则当H是一个p2的子群时,G是秩为p-1的可除交换p-群被p-阶循环群的扩张；当H是阶为p3的初等交换群时,G是秩或者为p-1或者为2p-2的可除交换p-群被一个有限p-群的扩张.当条件2成立时,我们证明了：如果G是局部幂零p-群,则G是秩为p-1的可除交换p-群被一个有限p-群的扩张.第2节,我们研究Berkovich和Janko在文献[1]中提出的问题237：研究有限p-群G,其任意两元生成的子群H满足|H|≤p2exp（H）.我们研究任意二元生成的子群含有较大的循环子群的有限p-群,得到了这类群的幂零类、导群的方次数和Gpi的一些性质.第3节,我们考虑Berkovich和Janko在文献[2]提出的关于正规闭包的公开问题805：研究p-群G使得对所有非正规交换子群A<G的正规闭包AG是极小非交换子群的.我们研究所有非正规子群的正规闭包是极小非交换子群的有限p-群,得到了该类群的完全分类.第3章几乎单群的OD-刻画群的OD-刻画问题于2005年兴起,由A.R.Moghaddamfar最早提出并研究,本章继续这方面的研究.证明了：特殊线性群L7（3）是可OD-刻画的,即有hOD（L7（3））=1,作为推论得到hOD（PGL7（3））=hOD（SL7（3））=1；一般线性群GL7（3）是可3-重OD-刻画的,即有hOD（GL7（3））=3,这里GL7（3）是素图连通的群.第4章共轭类长刻画几乎单群1987年Thompson提出如下猜想[40,问题12.38]：设群G是有限群,Z（G）=1,N（G）={n|G有共轭类C使得|C|=n}.如果M是一个非交换单群使得N（G）=N（M）,则G（?）M.该猜想是对非交换单群提出来的,已经很多人作过研究.本章对M不是单群的情况加以讨论,证明了：M是单K3-群的自同构群时,Thompson猜想也是正确的.第5章用群的阶及最高阶元刻画几乎单群在1987年,施武杰教授提出如下的著名猜想：设G和S是有限群,其中S是某有限非交换单群,则G（?）S当且仅当|G|=|S|且πe（G）=πe（S）.近年来,随着该猜想被完全证明,有群论工作者用更少的元素阶和群阶来刻画单群,即选取πe（S）中某些特殊的元素的阶来刻画单群.在本章中,我们用群的阶|S|及最高阶元m1（S）来刻画L2（q）型单K4-群和L3（p）型单K5-群.证明了：L2（q）型单K4-群和L3（p）型单K5-群由群的阶及最高阶元来唯一决定。另外,我们给出了实例说明：对L2（q）型单KK4-群的自同构群一般不能用群的阶及最高阶元来刻画.