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拓扑指数是分子结构数值化的一种方式,它通过对表征分子图的矩阵实施某种数字运算而获得.图的Wiener指数是被最深入研究的拓扑指数之一,它是由Wiener在1947年提出的,表示所有分子之间的距离之和,是纯图形中一个重要的概念,也与多种化学化合物的物理和化学性质有关.1993年,Plavsic等人介绍了图的Harary指数,表示所有分子之间距离的倒数之和.Randic于1993年提出了无圈图的hyper-Wiener指数,之后Klein等人将hyper-Wiener指数定义推广到所有连通图.图的Wiener指数、Harary指数以及hyper-Wiener指数都属于图的Wiener型不变量,是本文研究的重要拓扑指数.常见的分子拓扑指数还有Balaban 指数,Randic-Kier 指数,Hosoya 指数,Kovats 指数,Zagrb 指数,Schultz等.对于任意给定的无向图,怎样判断它是否包含一个哈密尔顿圈,这就是举世闻名的哈密尔顿问题.但到目前为止,还没有找到一个理想的方法,于是人们就追寻新的途径来解决这个问题.由于图的拓扑指数能很好的反映图的结构性质且便于计算,最近人们开始利用拓扑指数来研究图的哈密尔顿性问题,为哈密尔顿问题(NP-完全问题)的研究开辟一条新途径.本文对该问题进行了研究,主要利用图与补图的Wiener指数,hyper-Wiener指数和Harary指数来刻画一般图,平衡二部图,拟平衡二部图,k-连通图的哈密尔顿性,以及利用图的hyper-Wiener指数刻画图的k-路-覆盖,k-哈密尔顿的,k-边-哈密尔顿的,β-亏的等图的性质.具体内容安排如下:第一章,介绍研究的背景和意义,图的拓扑指数与图的一些性质的研究现状,相关的符号和基本概念,并给出全文的结构;第二章,首先,利用补图的Wiener指数,hyper-Wiener指数,Harary指数给出一般图是可迹的和哈密尔顿的充分条件;其次,利用图的hyper-Wiener指数给出图是kk-连通的,β亏的,k-哈密尔顿的,k-路一覆盖的和k-边-哈密尔顿的充分条件;第三章,利用拟补图的Wiener指数,hyper-Wiener指数,Harary指数给出平衡二部图可迹的与哈密尔顿的充分条件;第四章,利用图及拟补图的Wiener指数,hyper-Wiener指数,Harary指数给出拟平衡二部图可迹的充分条件;第五章,主要利用图及补图的Wiener指数,hyper-Wiener指数,Harary指数给出kk-连通图哈密尔顿-连通的与从任一点出发都可迹的充分条件.