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非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，它为解决当今科技领域中出现的各种非线性问题提供了富有成效的理论工具.在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程和微分方程中发挥不可替代的作用.
本文第二章中，利用Krasnonelskiis不动点定理，结合Leray-Schauder度，研究非线性三阶微分方程组边值问题{u″′i(t)=fi(t，u1(t)，u2(t)，…，un(t))，t∈[0，1]，u′i(0)=u″i(0)=ui(1)=0，i=1，2，3，…，n.(1)常号解的存在性和多解性.
在本章中我们使用下面一些假设，其中θi∈{1，-1}，(K)={u∈B|θiui(t)≥0，t∈[0，1]，1≤i≤n}，K={u∈(K)|θjuj(t)＞0()t∈[0，1]，()j∈{1，2，3，…，n}=(K){0}.(C1)fi在[0，1]×(K)上连续，1≤i≤n并且θifi(t，u)≥0，(t，u)∈[0，1]×(K)；θifi(t，u)＞0，(t，u)∈[0，1]×K.(C2)任给i∈{1，2，3，…，n}存在连续函数qi：[0，∞)→[0，∞)和连续增函数wij：[0，∞)→[0，∞)使得θifi(t，u)≤qi(t)wi1(|u1|)wi2(|u2|)…win(|un|)，(t，u)∈[0，1]×(K).(C3)存在α＞0，使得对任意i∈{1，2，3，…，n}使得α＞diwi1(α)wi2(α)…win(α)，其中di=supt∈[0,1]∫10Gi(t,s)qi(s)ds,1≤i≤n.(C4)任给j∈{1，2，3，…，n}存在某一个i∈{1，2，3，…，n}(i依赖j)，使得θifi(t，u)≥τij(t)wij(|uj|)，(t，u)∈[1/4，3/4]×K，其中τij：[1/4，3/4]→(0,∞)是连续的.
(C5)存在β＞0，对任意的j∈{1，2，3,…，n}存在某一个i∈{1，2，3，…，n}(i依赖j同(C4))满足：β≤wij(1/4β)∫3/41/4Gi(σij，s)τij(s)ds,σij∈[0，1]其中∫3/41/4Gi(σij，s)τij(s)ds=supt∈[0,1]∫3/41/4Gi(t，s)τij(s)ds.
主要结论：定理2.2.1设fi：[0,1]×Rn→R，1≤i≤n是连续的，如果存在不依赖λ的常数ρ＞0，使得方程组ui(t)=λ∫10Gi(t，s)fi(s，u(s))ds，t∈[0，1]，1≤i≤n，λ∈(0，1)，的任一解u∈(C[0，1])n，有‖u‖≠ρ.那么方程组(1)至少有一解u*∈(C[0，1])n，并且‖u*‖≤ρ.
定理2.2.2如果(C1)-(C3)成立，那么方程组(1)有一常号解u*∈(C[0，1])n，并且满足‖u*‖＜α及0≤θiu*i(t)＜α，t∈[0，1]，1≤i≤n.
定理2.2.3如果(C1)-(C5)成立，那么(1)有一个常号解u*∈(C[0，1])n并且满足(a)若α＜β，则α＜‖u*‖≤β并且存在j∈{1，2，3，…，n}使得mint∈[1/4,3/4]θju*j(t)＞1/4α；
(b)若α＞β，则β≤‖u*‖＜α并且存在j∈{1，2，3，…，n}使得mint∈[1/4,3/4]θju*j(t)＞1/4β.
定理2.2.4如果(C1)-(C5)成立，并且α＜β，那么(1)至少有两个常号解u1，u2∈(C[0，1])n满足0≤‖u1‖＜α＜‖u2‖≤β并且存在j∈{1，2，3，…，n}，使得mint∈[1/4,3/4]θju2j(t)＞1/4α.定理2.2.5如果(C1)-(C5)和(C5)|β=(~β)成立，并且0＜(~β)＜α＜β.那么(1)至少有两个常号解u1，u2∈(C[0，1])n满足0＜(~β)≤‖u1‖＜α＜‖u2‖≤β，并且存在j，k∈{1，2，3，…，n}使得mint∈[1/4,3/4]θku1k(t)＞1/4(~β),mint∈[1/4,3/4]θju2j(t)＞1/4α.
定理2.2.6假设(C1)，(C2)和(C4)成立，并且当α=αl，l=1，2，3，…，k时(C3)成立，当β=βl，l=1，2，3，…，m时(C5)成立.
(a)如果m=k+1并且0＜β1＜α1＜…＜βk＜αk＜βk+1，那么(1)至少有2k个常号解u1，…，u2k∈(C[0，1)n使得0＜β1≤‖u1‖＜α1＜‖u2‖≤β2≤…＜αk＜‖u2k‖≤βk+1.
(b)如果m=k并且0＜β1＜α1＜…＜βk＜αk，那么(1)至少有2k-1个常号解u1，…，u2k-1∈(C[0，1])n使得0＜β1≤‖u1‖＜α1＜‖u2‖≤β2≤…≤βk≤‖u2k-1‖＜αk.
(c)如果k=m+1并且0＜α1＜β1＜…＜αm＜βm＜αm+1，那么(1)至少有2m+1个常号解u0，…，u2m∈(C[0，1])n使得0≤‖u0‖＜α1＜‖u1‖≤β1≤‖u2‖＜α2＜…≤βm＜‖u2m‖＜αm+1.
(d)如果k=m并且0＜α1＜β1＜…＜αk＜βk，那么(1)至少有2k个常号解u0，…，u2k-1∈(C[0，1])n使得0≤‖u0‖＜α1＜‖u1‖≤β1≤‖u2‖＜α2＜…＜αk＜‖u2k-1‖≤βk.
本文第三章中考虑四阶非线性边值问题{u(4)(t)+f(t，u′，u″)=0，0≤t≤1，u′(0)=u″(0)=u″(1)=0(2)解的存在性，在本章中总假定：f：[0，1]×R2→R是连续的，且存在两个正实数λ1，λ2，0≤λ1+λ2≤2，使得对()t∈[0，1]，u1≥u2，v1≥v2有f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)≥-λ1(u1-u2)-λ2(v1-v2).(3)
主要结论：定理3.2.1若(2)有下解x和上解y，使得x″(t)≤y″(t)，()t∈[0，1]，则存在u∈C4[0，1]是(2)的解且u满足x″(t)≤u″(t)≤y″(t)，t∈[0，1].
推论3.2.2(1)如果min0≤t≤1f(t，0，0)≥0，并且存在c＞0，使得max0≤t≤1{f(t，u，v)：(t，u，v)∈[0,1]×[0，c]×[0,c]}≤12c，那么(2)有正解u*.
(2)如果max0≤t≤1f(t，0，0)≤0，并且存在c＞0,使得min0≤t≤1{f(t，u，v)：(t，u，v)∈[0，1]×[-c，0]×[-c，0]}≥-12c，那么(2)有负解u*.
本文第四章中考虑单边Nagumo条件下四阶微分方程边值问题{u(4)(t)=f(t，u′，u″，u′″)，0≤t≤1，u′(0)=0，u′″(0)=0，u′″(1)=0.
(4)解的存在性，定理4.2.1若(4)有上解α，和下解β，使得α″(t)≤β″(t)，()t∈[0，1].令E*={(t，x，y，z)∈[0，1]×R3：α′(t)≤x≤β′(t)，α″(t)≤y≤β″(t)}.f在[0，1]×R3→R连续在E*中满足单边Nagumo条件，并且f(t，α′(t)，y，z)≥f(t，x，y，z)≥f(t，β′(t)，y，z)()(t，y，z)∈[0，1]×R2其中α′(t)≤x≤β′(t).则(4.1.1)至少存在一个解u(t)∈C4([0，1])，并且u(t)满足α′(t)≤u′(t)≤β′(t)和α″(t)≤u″(t)≤β″(t)，()t∈[0，1].
本文第五章中，利用上、下解方法，研究非线性三阶微分方程{u′″(t)+f(t，u)=0，0≤t≤1，u′(0)=u(1)=u″(0)=0.(5)解与正解的存在性
主要结论是：定理5.2.1若存在c＞0，使得maxf[0，c]≤6c,并且inf0≤t≤lf(t，0)≥0，则问题(5)有一个非负解u满足‖u‖≤c.
定理5.2.2若存在c＞0，使得maxf[-c，0]≥-6c，并且max0≤t≤lf[t，0]≤0，则问题(5)有一个非正解u满足‖u‖≤c.
定理5.2.3若存在c＞0，使得maxf[-c，c]≤6c，并且min0≤t≤lf[-c，c]≥-6c，则问题(5)有一个解u满足‖u‖≤c.此外若minf[-c，c]≥-6c并且min0≤t≤l|f(t，0)|＞0，则u≠0.
定理5.2.4如果liml→∞max0≤t≤lf(t,l)/l＜6,liml→∞max0≤t≤lf(t,l)/l＞0并且liml→-∞max0≤t≤lJ(t,l)/l＜0则问题(5)有一个解u.此外若min0≤t≤lf(t，0)≥0则u非负；如果min0≤t≤lf(t，0)≤0则u非正.
定理5.2.5如果liml→∞max0≤t≤l|f(t,l)/l|＜6，则问题(5)有一个解u；此外若min0≤t≤l|f(t，l)|≠0，则u≠0.