随着大数据的发展和智能设备的普及,图像在数字医疗、工业检测、多媒体、刑侦等领域发挥着越来越重要的作用,因此对图像处理技术的研究愈发重要与迫切。特别的,图像恢复和图像分割是图像处理领域中的两项重点研究课题。在图像处理领域中,变分偏微分方程方法因其较强的局域自适应性和高度的灵活性而被广泛研究。低阶变分偏微分方程模型往往会导致“阶梯”效应,使得图像处理过程中产生虚假的边缘。本文利用高阶变分偏微分方程的几何特性消除“阶梯”效应,针对图像恢复和图像分割任务,提出一系列高阶变分偏微分方程模型,主要的研究内容如下:针对图像去噪问题,为了保留图像的边缘信息,引入基于梯度的加权函数提出自适应高阶变分模型,进一步,基于新变分模型对应的Euler-Lagrange方程,提出一类四阶非线性各向异性扩散方程模型。新的扩散系数不仅含有描述图像边缘的一阶导数信息,而且含有描述图像几何特征的二阶导数信息,从而新模型能够在去除噪声的同时有效地保留边缘与几何细节。在数值求解方面,由于四阶方程有限差分显格式的收敛条件较为苛刻,计算效率不高,本文应用快速显格式扩散和加法算子分裂隐式格式提高计算效率。实验结果表明,新模型在图像去噪与边缘、几何特征保留方面具有较好的表现。针对图像恢复问题,利用图像片的相似性,本文在非局部变分框架下提出非局部自适应双调和正则项,基于新的正则项,分别提出图像去噪、图像去模糊和图像修复非局部变分模型。新模型的高阶特性能够保持图像的几何特征,另一方面新模型的非局部特性可以保持图像纹理信息。基于压缩映像的方法证明模型解的存在性,并进一步分析模型解的唯一性与均值不变性。针对图像片相似不均衡的问题,设计一种权重矩阵正则化方法,提出有限差分显格式与半隐格式计算变分模型对应的Euler-Lagrange方程。数值模拟实验表明,新模型在图像去噪、图像去模糊和图像修复任务中均具备保留纹理、几何细节和保持图像一致性的优势。针对BM3D方法深度依赖噪声水平参数的选取且存在人工效应与偏差效应的问题,本文提出一种混合BM3D与偏微分方程的单幅图像无参数化图像去噪方法。一方面,提出一种偏微分方程滤波器,并证明该方程解的间断保持性、均值不变性、收敛性与局部连续性。基于该方程的理论性质,设计一类基于偏微分方程滤波的噪声水平估计器。另一方面,将偏微分方程与BM3D方法融合,提出一种稳定BM3D方法,从而避免人工效应和偏差效应。最终,将基于偏微分方程滤波的噪声水平估计器与稳定BM3D方法相结合,构建一种无参数化单幅图像去噪方法。与其他盲去噪方法的对比实验表明,本文方法可以有效地去除真实图像中的噪声并保留细节特征。针对图像分割问题,在水平集框架下,将分子束外延方程中的非平衡项和平衡项用作水平集演化方程中的正则项,本文提出基于分子束外延方程的正则化高阶变分模型。新模型的非平衡项约束函数梯度模的界限,避免水平集函数的梯度模过大或者过小,从而避免重新初始化。另一方面,新模型的平衡项能够控制分割轮廓的平滑程度,从而克服噪声对分割结果的影响。通过计算变分模型对应的Euler-Lagrange方程得到水平集演化方程,设计该演化方程的有限差分半隐格式,并应用傅里叶变换实现新模型的数值求解。仿真实验结果表明,在避免重新初始化的同时,本文模型对于强度非均匀的噪声图像能够得到平滑的分割曲线且保留细小的分割目标。