本文研究四阶偏微分方程边值问题：(此处为公式)。　　其中， f(x,y,u)∈C([0,1]×[0,1]×R)。这是作为不具各向同性特性的网格被铰链在正方形边界上的相互垂直刚性纤维编织平面板的振动模型提出的。当非线性项f(x,y,u)满足一定的条件时，运用临界点理论，得到上述问题解的若干存在性定理。　　首先，陈述了本论文课题的背景、来源、意义，列举、分析了国内外研究的现状。　　其次，罗列了本文需要用到的一些预备知识和引理等。　　然后，给出了非线性项f(x,y,u)满足Ambrosetti-Rabinowitz(AR)条件时，上述边值问题的非平凡解的存在性。　　接着，当非线性项f(x,y,u)不满足Ambrosetti-Rabinowitz(AR)条件时，在f(x,y,u)渐进线性且非共振、第一特征值共振、其它特征值共振，以及 f(x,y,u)超线性增长几种情况下，得到了上述边值问题的非平凡解的不存在性和存在性。