图的一些结构可以影响它的自同构群,反过来,图的自同构群也可以揭示该图的一些性质.因而研究图的性质与它的自同构群结构之间的关系是人们感兴趣的课题.图的可解集与确定集(以及它们的交换性)正是可以通过图的自同构群来研究的基本课题.我们对人们感兴趣的两类图(互素图和有限群的幂图)的自同构群进行了研究,并讨论了相应的可解集与确定集的交换性问题,同时也解决了《群论中未解决的问题》一书中的第18.49问题.在第二章我们主要研究《群论中未解决的问题》一书中的第18.49问题:对于任意1<a,b,c≤n-2三个正整数,在对称群Sn中一定存在元素α,β满足o(α)=a,o(β)=b和o(αβ)=c,这是斯蒂芬.科尔在研究复射影直线P1C覆盖的赫尔维茨存在问题时提出的一个猜想.我们首先给出了一些置换乘积运算的基本性质,并应用这些性质给出了这个猜想的肯定证明.互素图TCGn是一类与整数基本性质有关的图,因而除图论工作者外数论工作者也感兴趣的研究对象.在第三章我们研究了一些顶点度数及顶点在自同构作用下的性质,并应用这些性质完全刻画了TCGn的自同构群.进一步通过其自同构群的结构证明了TCGn是一类IBIS图,同时也指出TCGn可解集的交换性不是恒成立的.有限群G的幂图PG是一类与有限群的结构有紧密关系的图,是一些群论学者和图论学者很感兴趣的研究课题.我们在第四章给出了有限群幂图可解集具有交换性的充要条件,并证明了PSn的可解集不具有交换性当且仅当n=2+p,其中p是一个素数且p>3.