论文部分内容阅读
Courant代数胚这一概念第一次是出现在[13]中,下面将会看到在这一概念中我们所熟知的一些条件比如反对称性,Jacobi恒等式被做了一定程度的推广,最早引入这样的概念是为了统一地刻画流形上的Poisson结构和辛结构。随后Roytengerg:利用Dorfman括号给出了Courant代数胚的另外一种等价的定义,[16]中指出了Courant代数胚与L∞代数的关系。之后,Severa在[18]中提出了一系列关于Courant代数胚的想法,比如Courant代数胚可以自然的出现在二维的变分问题及弦论中并可以引入Poisson-Lie T对偶,Courant代数胚与Dixmier-Douady gerbe之间的关系,还有supermaIufold上的Courant代数胚结构,这些想法后来都得到了一定的发展,可以参见[3]。这些结果表明了Courant代数胚虽然最初是作为一个数学概念提出的,但是它在物理学上也可以找到相应的模型。由此可见,Courant代数胚是一个极其重要的概念,但是在一段很长的时间内,Courant代数胚都缺乏很好的例子,Severa在[18]中给出了一类重要的例子:恰当Courant代数胚,并且利用流形的三阶上同调给出了恰当Courant代数胚的分类。除此之外,Lie代数胚与Courant代数胚之间的关系也是一个重要的问题,通过Lie代数胚的第- Pontryagin示性类,对此问题做了回答,第一章第一节中也将对其中的结果做详细的介绍。另外一方面,抛物几何包含了许多的几何结构,如射影结构,共形结构,近Grassmann结构,近四元数结构和余维数为一的CR结构,是一种极为广泛的几何结构。本文则是利用抛物几何来给出一个非平凡的Courant代数胚的例子,这个构造是Armstrong在[1]中首先给出的。此外,还将在此基础上对其做一些解释和推广。
本文第一部分主要介绍了Courant代数胚和抛物几何的相关理论,第二部分通过在旗流形上定义一个新的括号运算,赋予其一个Courant代数胚结构,第三部分对此结果做了一定的推广。