Sylvester张量方程广泛应用于控制系统、图像处理、模型降阶和流体力学等领域。在Sylvester张量方程的众多应用中,Sylvester张量方程的解在自动控制理论和高维线性偏微分方程的求解过程等方面发挥了重要的作用。因此,本文将研究Sylvester张量方程解的相关问题。首先,研究一般的Sylvester张量方程解的存在性问题。利用Jordan标准形和张量分块理论,给出一般的Sylvester张量方程解存在的充分必要条件。基于有解的条件,求得一般的Sylvester张量方程的精确解。其次,研究Lyapunov张量方程解的唯一性问题。结合正定张量的相关理论,给出Lyapunov代数定理和Stein定理在Lyapunov张量方程上的推广。此外,在Lyapunov张量方程存在唯一解的条件下,使用张量积分和张量级数描述Lyapunov张量方程的精确解。再次,研究Lyapunov张量方程解的敏感性问题。基于张量范数理论,给出Lyapunov张量方程解的Frobenius范数型和l~m谱范数型扰动边界。对于两种扰动边界,比较Frobenius范数型扰动边界与已知的Shi-Wei-Ling扰动边界,并分析l~m谱范数型扰动边界与线性定常系统衰减系数之间的关系。最后,研究二阶广义T-Sylvester张量方程解空间的维数问题。根据广义奇异值分解的相关理论,给出二阶广义T-Sylvester张量方程解空间的维数公式。特别地,将主要结果应用到图的连通性理论中,从而丰富二阶广义T-Sylvester张量方程与图的连通性之间的联系。