正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或几个正整数的无序和,不同的分拆方式数称为分拆数。研究正整数的分拆具有理论与实际意义,它是组合数学,图论,数论研究的一个重要课题。莱布尼茨发轫于先,后来欧拉将它发展成为一种完整的分拆理论。本学位论文主要做了以下工作:首先,对正整数完备分拆作了一些探讨。给出了完备分拆的充要条件、分部量以及分部数界的估计。然后运用递归的方法,在对分部数和分部量有限制的条件下给出了正整数n的完备分拆数的两个递推公式,同时也讨论了有关完备分拆生成函数的一些结果。其次,讨论了三分拆的分拆公式及其应用。介绍了已有的几种三分拆分拆公式的证明方法,并详细地给出了不同于已知文献的一个比较简洁的证明方法。最后讨论了三分拆在整边三角形,θ图以及分子结构上的实际应用。最后,讨论了不定方程的解数与正整数的分拆。运用已有的结果,并且利用正整数n分拆成k个部分的无序分拆数p(n,k)与不定方程正整数解数A(n,k)的关系,通过解线性方程组的方法给出了k=4,5,6的p(n,k)的等价表达式。