【摘 要】
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在流体力学、带有限制条件的二次优化问题及电磁学等应用领域中,对所研究问题进行线性化及有限元（有限差分）离散处理后,通常都会归结为同一类大型稀疏线性方程组—鞍点问题的求解.对于鞍点问题的求解方法主要包括直接法和迭代方法两种.但是直接法在求解大规模稀疏系统时,会产生“填充”现象,运算量比较大.而迭代方法虽然在鞍点问题的求解中发挥了举足轻重的作用,但是对于像鞍点问题这样具有大规模系数矩阵的方程组而言,在
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在流体力学、带有限制条件的二次优化问题及电磁学等应用领域中,对所研究问题进行线性化及有限元（有限差分）离散处理后,通常都会归结为同一类大型稀疏线性方程组—鞍点问题的求解.对于鞍点问题的求解方法主要包括直接法和迭代方法两种.但是直接法在求解大规模稀疏系统时,会产生“填充”现象,运算量比较大.而迭代方法虽然在鞍点问题的求解中发挥了举足轻重的作用,但是对于像鞍点问题这样具有大规模系数矩阵的方程组而言,在实际计算过程中要经过很多步迭代才能收敛.因此,近年来对鞍点问题的求解,都是考虑采用预处理技术.本论文在潘建瑜等人2006年提出的DPSS预处理子的基础上,提出了求解非对称鞍点问题的三种松弛型预处理子,并给出了相应的理论成果及数值实验,具体研究工作可概括如下：1. DPSS预处理子是求解非对称鞍点问题的有效预处理子.由它进行预处理的鞍点问题,当选取合适迭代参数时,系数矩阵的特征值将趋于原点和（2,0）.本文通过删除DPSS预处理子差矩阵的第一个分解矩阵中的一个对角位移项,而得到求解非对称鞍点问题的VDPSS预处理子.相比较DPSS预处理子,VDPSS预处理子更加贴近原鞍点问题的系数矩阵.且由该预处理子预处理的系数矩阵一定会有n个特征值为1.本论文不仅从理论上分析了预处理方程组的Krylov子空间情况,还通过数值实例来验证VDPSS预处理子在特征值分布、迭代步数以及CPU时间方面的优越性.2.通过直接删除DPSS预处理子和原鞍点问题系数矩阵的差矩阵中一个位移项,本文提出了求解非对称鞍点问题的第二种松弛型预处理子,即RDPSS预处理子.文中不仅证明了预处理后系数矩阵也具有n个特征值为1,还分析了在迭代参数趋于0和+∞时预处理后系数矩阵的剩余特征值均趋于0.更重要的是本文还证明了RDPSS预处理子对应的迭代方法无条件收敛,且对预处理后方程组的Krylov子空间情况也进行了分析.数值实例表明,RDPSS预处理子无论是从特征值分布方面,还是迭代步数,亦或是CPU时间方面,都能更加有效求解鞍点问题,且该预处理子对迭代参数的敏感性不强.3.由于DPSS预处理子与原鞍点问题系数矩阵的差矩阵中存在平衡α和a-1的问题,本文在前两种松弛型预处理子的基础上将差矩阵中对角线上的位移项全部换为零矩阵,提出了求解非对称鞍点问题的一种新的松弛型预处理子.该种新松弛型预处理子避免了需要在α和α-1之间平衡选择a.并且本文还证明了对应迭代方法的无条件收敛性,分析了预处理后系数矩阵特征值的分布情况,且理论上得出了保证迭代收敛最快的最优参数的选取.本文还对预处理后系数矩阵的特征向量的结构进行了分析,因为迭代方法的收敛速度不仅和谱性质有关,还与特征向量结构有关.针对计算过程中需要求解系数矩阵中含有A-1的方程组,文中提出了一种有效的非精确近似计算方法.数值实验表明该新松弛型预处理子相比其他松弛型预处理子在求解非对称鞍点问题时更加有效.其非精确近似计算方法虽然在迭代步数上增加了,但是CPU时间却大大减少了,因此是新松弛型预处理子的一个有效近似.
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