有限体积元法(FVEM)是求解偏微分方程的主要方法之一。由于具有局部积分守恒性质,可以保持质量、动量、能量等物理量的局部守恒,有限体积元法被广泛应用于流体力学、电磁学、半导体模拟和石油工程等领域。二阶椭圆型方程有限体积元法的理论研究主要包括稳定性分析、收敛性分析以及超收敛分析等方面的内容。其中,有限体积元格式的稳定性(即双线性形式的正定性)是误差估计的基础。三角形网格上线性有限体积元法的收敛性分析已经比较完善和透彻。而对于三角形网格上高次有限体积元法的L2误差估计和超收敛长期没有结果。特别地,对于二次有限体积元法而言,人们甚至不能确定最佳L2收敛阶是否可以达到,更不要说超收敛了。本文以变系数二阶椭圆型方程为模型,1)通过求解所提出的正交条件方程得到了能够保证三角形网格上任意k次有限体积元法具有最佳L2收敛阶的对偶剖分做法。2)然后,通过Aubin-Nitsche技巧和正交条件从理论上证明了L2误差估计。3)特别地,对于三角形上二次有限体积元法,具有最佳L2收敛阶的有限体积元格式也是唯一具有超收敛的二次格式。本文运用了单元相消技术以及正交条件,给出了超收敛性质相应的理论证明。首先,本文对三角形网格上Lagrange型有限体积元法,提出了确定其对偶剖分Τh*构造方式的正交条件：给定原剖分Τh和k次试探函数空间,相应的(k-1)次正交条件为这里li(i=1,2,3)分别表示单元K的三个边。Πh*为基于Τh*的分片常数插值算子。对任意的k>0,通过求解(k-1)次正交条件方程(1)和(2)所形成的非线性方程组,可以得到具有最佳L2收敛阶的k次有限体积元格式。特别地,对于二次有限体积元法,正交条件所导致的格式是唯一具有超收敛的二次FVEM格式。需要说明的是,正交条件是保证有限体积元格式具有最佳L2收敛阶的充分条件。其次,本文研究了三角形网格上一般变系数二阶椭圆形方程有限体积元法的L2误差估计,给出了任意k次正交有限体积元格式L2误差估计证明的一致框架。为了得到有限体积元法的L2误差估计,我们需要估计有限元的双线性形式a(·：·)和有限体积双线性形式ah(.,Πh*·)的差。运用基于原剖分Τh的分片线性插值算子Ⅱhl(而非分片k次插值算子Πhk),FEM格式的双线性形式a(u-uh,Πhlw)和FVEM格式的双线性形式ah(u-uh,Πh*(Πh1w))的差可以被转化为两部分：单元内部积分和单元边界的积分。然后,应用Aubin-Nistche技巧、正交规则以及FVEM格式稳定性结果,我们可以获得任意k次正交有限体积元格式L2误差估计的一致结果(定理1)。定理1.设为问题(2.1)的解,且Τh是正规网格。对于k次Lagrange试探函数空间Uh,选取满足(k-1)次正交条件的对偶剖分Τh*,orh。则存在一个常数C>0使得其中,uh为有限体积法的解。最后,本文研究了三角形网格上二次有限体积元法的超收敛。当精确解满足一定的正则性,原剖分为C均匀网格且对偶剖分满足正交条件时,相应二次有限体积元格式具有第一弱估计、按H1模的超收敛、按L2模的超收敛以及有限体积元解在插值节点(位移佳点)处的超收敛。通过正交条件和单元相消技术,借助于FVEM的稳定性结果[11,69]和FEM的超收敛结果[18,65],我们证明了二次正交FVEM格式的第一弱估计(定理2)。定理2(第一弱估计).设原剖分Τh为Ω上的C一致三角形剖分。若问题(2.1)的精确解u满足则其中为u在原剖分Τh上的分片二次插值。令wh=uh-uI,由有限体积法的稳定性[11,69]以及定理2即得Mh-uI按H1模的超收敛(定理3)。定理3.对椭圆型问题(2.1),令原剖分Τh为Ω上的C均匀剖分。假设问题的精确解u满足则在定理3的基础之上,运用Aubin-Nitsche技巧和正交条件,我们证明了uh-uI,按L2模的超收敛和u-uh在插值节点处的超收敛(即按离散L2模的超收敛)(定理4)。定理4.对椭圆型问题(2.1),令剖分Τh为区域Ω的C均匀网格剖分。设问题的精确解u满足则这里N表示所有的插值结点。||·||0,N表示在插值节点处离散的L2模,定义详见正文第四章。除此而外,本文还呈现了一些数值实验的结果以验证理论的正确性。