本文内容涉及金融中产生的自由边界问题。我们重点关注如下金融中的三类问题:状态转移模型下美式期权定价问题,带停时的最优投资问题,带提前退休期权的最优消费投资问题。众所周知,找到自由边界问题中的自由边界的解析表达式是极其困难的。因此,一般地,我们很难求解本文中所研究的自由边界问题的解析解。在本文中,我们讨论了值函数和自由边界的性质。进一步,本文还给出了以上三类问题的数值解并且研究了算法的收敛速率。对于状态转移模型下美式期权定价问题,其值函数由一组抛物变分不等式确定。我们研究了三叉树算法和带扰动项的有限差分算法的收敛速率。首先,对于状态转移模型下美式期权,本文建立了三叉树算法和带扰动项的有限差分算法之间的高阶等价关系。其次,对于确定美式期权值函数的变分不等式组,我们证明了带扰动项的有限差分算法的收敛速率。由三叉树算法和带扰动项的有限差分算法之间的高阶等价关系以及带扰动项的有限差分算法的收敛速率,我们可以得到三叉树算法的收敛速率。对于带停时的最优投资问题,值函数由变分不等式刻画。该变分不等式涉及到一个包含完全非线性偏微分方程的自由边界问题。对于不同类型的效用函数,运用对偶控制方法,我们得到了对偶值函数以及对偶问题中的自由边界的相关性质。对于一类效用函数,本文构造了对偶问题中的自由边界的全局逼近。这就极大降低了计算成本。对于带停时的最优投资问题,利用对偶关系,我们得到了值函数,最优投资策略,以及最优执行边界的近似表达式。数值实验表明全局逼近算法具有鲁棒性,精确性并且是快速的。最后,我们研究了带提前退休期权的最优消费投资问题。在该问题中,代理人需选择消费和不同资产构成的投资组合,并且需在强制退休日期之前退休。除此之外,代理人还享有提前退休的权利。对于几何布朗运动模型,本文给出该问题的近似解析解。我们刻画了对偶问题中自由边界在时间趋于0和趋于无穷时自由边界的渐近性质。由渐近性分析结果和对偶关系,本文构造了原问题自由边界的全局逼近并且得到了值函数的近似计算公式。对于复杂CEV模型,我们得到了值函数的性质并且证明了验证性定理。