密码学和信息安全是通信中重要研究领域。在私钥密码体制中需要用有限域上的函数或者周期序列作为密钥,将通信中的明文加密成密文,以达到保密的目的。这些函数和序列应当具有良好的密码学性质,以抵抗业已发明的各种密码攻击方式。设Fq为q元有限域,其中q=pm,p为素数,m≥1,具有完全非线性的函数f:Fqn→Fqn.作为密钥可以抵抗差分攻击。线性复杂度很大的q元周期序列作为密钥流在流密码体制中用来抵抗Berlekamp-Massey算法的攻击。在实际应用中,k-错线性复杂度是更重要的密码学性质,也是当前密码学中一个困难而重要的研究领域。近年来,由于对多条并行序列安全性的关注,因此引起了广大学者对多维序列密码学度量研究的重视。本文研究了有限域上函数和周期序列的密码学性质：完全非线性和线性复杂度。主要结果如下：1、利用有限域上指数和理论解决了Kyureghyan与Ozbudak于2012年提出的关于Fqn上的一类函数fn,a(x)=x(Trn(x)-α/2x)的两个猜想,其中α∈Fqn,而Trn(x)为由Fqn到Fq的迹函数。利用有限域上Kloosterman和的估计以及迹函数理论证明了当n≥4时在Fqn上不存在完全非线性函数fn,a(x),证明方法也适用于Kyureghyan与Ozbudak所得到的关于n≥5的情况,从而对于n≥5的结果给出了一个更加简化的新证明。论文还证明了当α∈Fq{0,2,3,4,6)时,在Fq3上不存在完全非线性函数f3,α(x).2、将素数周期序列线性复杂度的分布函数推广到特殊合数周期的情况。利用离散傅里叶变换以及分圆陪集理论给出F1上N=2n1(l≥1)周期序列线性复杂度的分布函数,其中n与有限域Fq的特征均为奇素数,gcd(n,q)=1且q为模2nl的原根。3、用连续整除思想以及离散傅里叶变换的逆变换将周期为2n-1的二元序列的最优移位推广到Fq上周期为qn-1的序列的情况,给出确定与Fq上周期为qn-1的序列有一位不同的序列的最优移位以及极小线性复杂度的两个算法,其中一个算法还描述了序列的线性复杂度如何随着错误位置以及错误比特的变化而变化。4、利用广义离散傅里叶变换将周期单序列扩域k-错线性复杂度的算法推广到多维序列的情况。首先给出特征为p的有限域Fq上周期为N的多维序列扩域k-错Fq-线性复杂度的定义,其中gcd(N,p)=1,并用广义离散傅里叶变换的方法给出周期多维序列扩域k-错Fq-线性复杂度的近似算法。5、利用离散傅里叶变换的逆变换将周期为2”-1的二元序列的最优移位推广到多维的情况,给出描述当N为奇数时,周期为N的二元多维序列的联合线性复杂度如何随着一个错误项的变化而变化的算法,并确定了其1-错联合线性复杂度以及最优移位。