分数阶微积分最近十多年来越来越多地引起人们的关注.它可以成功地描述工程、物理、化学、生物以及经济学等领域的许多现象.由于分数阶导数固有的非局部属性,在最近几年,它已被证明可以用来描述一些与记忆和遗传有关的现象或过程.这些重要的应用促使我们努力的寻求高效、稳定并且易于执行的算法来求解分数阶微分方程.本文用有限差分方法研究了时间空间分数阶Bloch-Torrey方程的高精度的数值解法,并证明所建立的算法的稳定性和收敛性.文章分为两大部分.第一部分,研究了一维时间空间分数阶Bloch-Torrey方程的两个高阶数值算法,并给出相应的先验估计式.首先,利用加权位移的Grunwald-Letnikov算子来离散Caputo分数阶导数,得到一个关于时间分数阶导数的三阶逼近；对于空间方向的分数阶导数,利用中心差商公式来离散Riesz分数阶导数,得到了空间方向的二阶逼近.这样对方程构造了高阶差分格式A,使其时间方向和空间方向在L1(L2)范数下分别达到三阶和二阶精度.利用离散的能量分析方法,严格证明了该差分格式的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性,并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.然后,对于时间方向的分数阶导数仍采用刚才提到的离散方法来离散；对于空间方向的分数阶导数,用中心差商公式来离散Riesz分数阶导数在三点的加权值,得到空间方向的一个四阶逼近.这样对方程构造了高阶差分格式B,其在时间和空间方向达到三阶和四阶精度.同样,我们利用离散的能量分析方法,严格证明了高阶差分格式B的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性,并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.第二部分,研究了二维时空分数阶Bloch-Torrey方程的两个高阶的数值解法,并给出相应的先验估计式；然后给出四个交替方向的差分格式.首先,对于时间方向和空间方向的分数阶导数,采用一维情形时得到差分格式A时用到的离散技巧,分别利用三阶逼近公式来离散Caputo分数阶导数、利用二阶逼近公式来离散Riesz分数阶导数;这样对二维问题构造了高阶差分格式C,使其在时间方向和空间方向在L1(L2)范数下分别达到三阶精度和二阶精度.利用离散能量分析方法,严格证明了所建立的高阶差分格式C的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性,并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.然后,对空间方向的分数阶导数的离散,采用一维情形时得到差分格式B时用到的离散技巧,得到了空间方向的四阶逼近.这样对二维问题构造了高阶差分格式D,使其在时间方向和空间方向在L1(L2)范数下分别达到三阶精度和四阶精度.利用离散能量分析方法,严格证明了高阶差分格式D的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性,并且给出了数值算例验证了数值解的精确性和差分格式的有效性.最后对二维时空分数阶Bloch-Torrey方程建立了4个ADI求解格式.ADI格式虽然可以使问题得到简化,但时间方向的精度分别达到α阶或2a阶,比高阶差分格式C和D的精度降低了.因此,我们只给出了ADI求解格式,在理论上没有进一步的研究.