基因表达及其调控是分子生物学的核心问题,是当前生命科学研究的重要分支。作为国际上研究的热门课题,它引起了生物、化学、物理、医学等领域专家的广泛关注。许多科学家对其进行了深入的研究并取得了卓越的成就,其中些科学家因为他们的突出贡献而被授予了诺贝尔奖,例女(?)Beutler与Hoffmann*获得了2011年的诺贝尔奖,以表彰他们“关于先天免疫机制激活的发现”。基因转录是基因表达的第一步,也是最为关键的一步。它将储存于编码DNA中的基因信息转换成RNA,并最终决定了蛋白质的合成与结构。基因转录是一个随机过程,人们已经从实验及理论两方面研究了基因转录的随机性。由于RNA观测技术的发展,比如对单个活细胞中RNA合成的实时观测,生物学家们发现基因是以随机的、不连续的、爆发的方式转录的。基因转录的随机性直接导致了RNA与蛋白质的不均匀、不规则分布。近年来,许多科学家对基因表达的随机性产生了浓厚的兴趣,并运用数学方法进行了深入的研究,他们有的通过统计分析[1,2]和数值模拟[3],有的通过建立基因转录的数学模型[4-6]等方法描述了基因转录的随机性。随着生物技术的发展,对转录的理论研究也得以迅速发展,并建立许多种模型解释说明转录的随机性,但在他们的模型中基因转录是在稳定状态中由单一信号路径激活的。许多基因的转录涉及到多条信号传导路径,转录因子在它们共享的DNA链接键位处发生竞争,并以不同的链接方式交互调节基因转录。本文以生物学家在实验中获得的数据为依据,首次建立了基因转录的多路径模型,进而研究了基因转录产物的平均合成数量及RNA在细胞内的分布。我们主要在以下几个方面做了创新及改进：1.建立了第一个多路径基因转录模型,推广了两种状态及三种状态的转录模型；2.研究了转录起始阶段的基因转录,我们通过转录效率、噪声及噪声强度等三个量揭示了转录的随机性,并分析了系统的各个参数对转录效率及噪声强度的调节作用；3.结合RNA的生成与死亡,建立了RNA表达水平的多路径转录模型。本文的各章节安排如下：首先,我们在第一章详细介绍了基因表达的随机性、转录机制及转录过程。直以来,人们认为在转录过程中基因总是处于激活状态[7]或转录系统在两种基本状态(基因开启状态与基因闭合状态)间随机转换[8],但越来越多的实验数据及研究结果显示基因转录存在于三种不同的状态中[9-13]。因而在第二章,我们建立了两种状态及三种状态的多路径转录模型。其次,我们分别在第三章与第四章研究了转录起始阶段及稳定状态下的转录噪声。在现有的研究中,基因转录均是在稳定状态下由单一信号路径激活,但我们发现在转录起始阶段,转录过程具有更复杂的动态行为。利用更新定理与Laplace变换,我们得到了转录频率及噪声强度的解析表达式。利用数值例子,我们发现交互式转录系统具有非平凡的动态行为,对应参数大部分取值,转录噪声强度变化平缓,但在某些临界值附近,参数的微小扰动都可能使得噪声强度发生巨大变化。同时数值模拟说明了交互式信号路径可以引导更多的细胞转录,其数量比信号传导一段时间后在稳定状态下引导的细胞数量多。通过初等更新理论及中心极限定理,我们证明了转录频率的稳定噪声强度与一次转录循环逗留时间的噪声相等。进一步分析显示交互式信号路径可使得转录系统产生任意大的噪声强度,这与单一路径引导的转录的噪声强度处于[1/3,1]不同。如果噪声无法控制,则转录会对生物体造成严重危害,因而如何使转录系统避开这些参数的临界值对保证细胞处于稳定状态极为重要。为了避免转录过程产生不适当的噪声,我们的模型及分析提出了几种有效机制可使得系统噪声得以控制。最后,我们在第五章首次把转录频率的多路径模型与RNA的生成与死亡相结合,建立了RNA转录水平的模型,并计算得到了RNA的平均转录水平,噪声及噪声强度。通过数值例子,我们发现RNA转录水平、噪声、噪声强度与基因处于开启状态的时长及转录效率密切相关。我们证明了通过计算得到的噪声强度与Blake等[14]在实验中测得的噪声强度基本吻合。