Majorana费米子的反粒子是其自身,它满足Non-Abelian（非阿贝尔）统计,是容错拓扑量子计算的有效候选之一。自Majorana费米子被提出以来,对它的寻找从未停止。最近人们发现在拓扑超导体中元激发的零能准粒子与Majorana费米子有相同的特性,为研究Majorana费米子提供理论基础。我们主要研究的是一维p波超导量子线中局域在两端的Majorana零模。本论文首先介绍了拓扑绝缘体和拓扑超导体的相关概念,讨论了安德森局域化现象以及一维Aubry-André（AA）模型的相关性质,根据自对偶性质求出该模型的扩展-局域的转变点,该模型不存在迁移率边。紧接着我们介绍了几种具有迁移率边的类AA模型,它们具有精确的迁移率边的解析表达式。在加入p波超导后,这些模型表现出丰富的拓扑量子相,并且存在复杂的迁移率边。本论文主要研究了一维具有特殊化学势调制的p波超导量子线中的量子相变。它可以用Bogoliubov-de Gennes方法求解。当系统参数b≠0,调制频率α为有理数时,系统经历从拓扑非平庸相到拓扑平庸相的转变,伴随着Majorana零模的消失和Z₂拓扑不变量的改变。我们发现相变强烈地依赖化学势强度V和相移δ。对于某些特定的α和δ,相变的临界强度V是无穷大。对于非公度的情况（?）,我们可以通过分析低能谱,最低激发态的波函数,Z₂拓扑不变量和表征波函数局域的逆参与率（IPR）来确定系统的相图。以δ=0为例,体系出现了三个相,拓扑非平庸超导相,拓扑平庸超导相,拓扑平庸安德森绝缘相。对于拓扑非平庸的超导相,它具有由Z₂拓扑不变量表征的Majorana零模。通过计算IPR,我们发现拓扑平庸超导相和拓扑平庸安德森绝缘相的最低激发态表现出不同的标度特征:对于拓扑平庸超导相,最低激发态的IPR随尺寸的增加而趋于零,而对于平庸Anderson局域相,它保持有限值。