现有的基于数学理论的密码系统具体实现所采用的困难问题大多为非多项式时间可解。但如果量子计算机实际可行的话,则这类困难问题为不安全的。本文简单介绍了密码学研究的现状,并对密码学的基础知识和数论的基本理论作了概要性阐述。由于有限域上的遍历矩阵在乘法下周期最大,基于遍历矩阵的密码学特性可构造出密码学所需的困难问题。所以详细研究了遍历矩阵和关于遍历矩阵的强壮矩阵的概念及特性。提出了基于矩阵的密码学困难问题,对困难问题的困难度进行了分析。文章根据遍历矩阵的特性,提出了一些基于矩阵的困难问题。并引入有限域上的“BMQ-问题”,即有限域上的“二等分多变量二次方程组的求解问题(Bisectional Multivariate Quadratic equations Problem)对所提出问题的困难度从理论上进行了研究。本文还探讨了强壮矩阵的特性,依据定理,得出了寻找强壮矩阵的算法。最后,文章提出了困难问题在构造单向函数,密钥交换,Shamir三次传递协议等应用的方案。