带自由液面的流体流动问题在工程和自然界中大量存在。这类问题的难点在于如何准确的跟踪模拟自由液面随时间的变化过程。此类问题的控制方程为粘性不可压Navier-Stokes方程.过去人们采用多种数值方法研究带自由液面的流体问题,主要有差分法,有限元法和边界元法等。本文采用Legendre谱元法进行数值模拟。在固定区域谱元法的基础上作了如下的扩展:用全粘性压力张量格式使得牵引边界条件(自由液面)能很自然的应用;用ALE方法来精确的跟踪自由液面的位置;用半隐式时间离散格式和改进的Uzawa算法一定程度上分离自由液面的演变和区域内部的演变;用Stokes算子代替弹性算子来控制网格速度。为了使问题易于分析且更明确,本文主要研究沿平板下落薄膜流动的线性稳定性问题。沿平板下落薄膜流动问题是一种很典型的带自由液面的流体。在数值试验中本文采用一个有效的计算格式,在空间方向上采用Legendre谱元法,在时间方向上采用半隐式方法:对移动网格的控制采用Stokes方程。数值结果表明这种计算格式得到的结果不仅与Orr-Sommerfeld方程线性稳定性的结果相吻合,而且相比于椭圆弹性算子,Stokes算子可较好的保证谱元体积守恒,从而证实了ALE谱元法用于求解此类问题的有效性。