【摘 要】
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非线性偏微分方程(NPDE)多数来源于物理学,化学,生命科学等领域,是经过抽象化后的数学模型,具有非常鲜明的物理意义。NPDE可以分为可积分方程和不可积方程两类,其中可积的NPD
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非线性偏微分方程(NPDE)多数来源于物理学,化学,生命科学等领域,是经过抽象化后的数学模型,具有非常鲜明的物理意义。NPDE可以分为可积分方程和不可积方程两类,其中可积的NPDE具有孤子解的特性让其成为非线性科学研究方向的热门问题。导数非线性薛定谔(DNLS)方程是严格可积的NPDE之一,是用来描述等离子体中的Alfven波的数学模型。它同样也可以用来描述单模光纤中的亚皮秒或者飞秒脉冲波,外加磁场下(反)铁磁媒质或电介质中的弱非线性电磁波。求解DNLS方程孤子解的方法主要有三种:反散射变换法(IST);Darboux变换法(DT);Hirota双线性导数法。其中反散射变换主要用来求解常数边界条件下DNLS方程的孤子解。而其他两种方法能够非常方便的求非常数边界条件下的DNLS方程。本文考虑非零常数边界条件和平面波背景下的DNLS的求解。第一部分介绍NPDE和孤子理论的研究背景。第二部分介绍几种常用的NPDE的求解方法。第三部分介绍零边值条件下DNLS方程的两种求解方法,反散射变换法和Hirota变换法。第四部分考虑非零常数边界条件下DNLS方程的求解。利用反散射方法构造一种由纯孤子和呼吸子组成的混合解。第五部分利用Hirota方法构造平面波背景下DNLS的空间周期解,并利用一阶周期解的长波极限导出Rogue波解。第六部分给出整文的总结和展望。
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