数学解题研究是我国数学教育研究的一个特色工作。数学解题研究不能局限于解题技巧的直接展示,不能停留于解题方法的简单呈现,应该提升到数学思想和数学方法的理论高度,应该进入到数学教学和数学学习的心理层面乃至哲学层面。当前的情况是,数学解题研究在运用现代认知心理学知识剖析和揭示数学解题思维过程上做得远远不够;同时,有关数形结合研究存在许多不足。基于这些思考,本文选取数学表征作为研究视角,选取数形结合作为研究对象,具体研究运用数形结合方法解决问题的有关问题。 学生在解决代数表征方式呈现的问题时能够建构与运用图形表征,图形表征在解题过程的不同阶段起着不同的作用。学生在解决图形表征方式呈现的问题时能够建构与运用代数表征。学生在解决代数问题时运用图形表征比在解决几何问题时运用代数表征次数相对要多。表征运用主要存在两种形式,一是解题思考运用新的表征,解答书写还是采用原有表征;一是解题思考和解答书写都是采用新的表征。新的表征运用既可以是主动的,也可以是被动的。 图形表征的呈现方式对解题表现产生了影响。图形表征共有四种呈现方式,分别称为缺失图形、被动图形、主动图形和示例图形。三所学校学生得分之间没有显著差异;男生与女生得分之间没有显著差异;学优生、中等生和学困生得分之间均有显著差异;学优生在被动图形条件下表现最好,中等生在示例图形条件下表现最好,学困生在被动图形条件下表现最好,他们都是在缺失图形条件下表现最差。图形表征的呈现方式对图形运用也产生了影响,不同水平学生在不同图形呈现方式下运用图形次数不同。 图形表征的具体类型对解题表现产生了影响。图形表征共有三种呈现类型,分别称为图形一组、图形二组和图形三组。三个班级学生得分分布基本相近,没有显著差异;男生比女生平均得分略高,没有显著差异;不同水平学生在不同图形类型下得分并不相同,不同水平学生之间有着显著差异。 通过质性研究发现,数形结合解题过程涉及的解题活动基本可分解为以下四种:从图形表征中推导更多结论、数学性的精致化和新信息的再探究、关于直觉表征运用设置新的目标和调控自己问题解决陈述。直觉推断和逻辑分析构成了运