分式化与Gorenstein模类

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分式化是交换代数中的重要内容,它的出现促进了交换代数的发展和繁荣。随着交换代数和同调代数研究的不断深入,两者之间的联系越来越多。数学家Auslander和Bridger最早提出了 Gorenstein环的概念,后来Enochs和Jenda在一般环上定义了Gorenstein投射模的概念。自此Gorenstein同调代数成为代数学家关心的重要课题。绝大多数学者都在研究Gorenstein模的同调性质,但是关于Gorenstein模类和交换代数中的分式化结合在一起的研究较少。因此,本文研究了分式化与Gorenstein平坦模、Gorenstein内射模、Gorenstein投射模之间的联系。本文首先研究了剩余类环可分式化为域的情况,得出了以下结果:定理1剩余类环Zn可以分式化为域当且仅当存在素数p整除n且p2不整除n。另一方面,Gorenstein平坦模、Gorenstein内射模、Gorenstein投射模是同调代数和代数表示论中非常重要的研究对象。本文结合交换代数中分式化的概念,研究这三类模的性质,并考虑分式化是否能够保持Gorenstein平坦模、Gorenstein内射模、Gorenstein投射模。我们得到了以下结果:定理2设M是一个Gorenstein平坦R-模且S是环R的任意乘法子集。则S-1M是Gorenstein平坦模的充分必要条件是对任意的内射S-1R-模F以及任意的i≥ 1,都有ToriS-1R(F,S-1M)=0成立。定理3设R是n-Gorenstein交换环,S是R的乘法子集,G为R-模。如果G为 Gorenstein 内射R-模,则S-1G为 Gorenstein 内射S-1R-模。定理4设R是诺特环,S是R的乘法子集,M是有限生成的R-模。如果M是Gorenstein 投射R-模,则S-1M是 Gorenstein 投射S-1R-模。
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