数学和统计学的发展为人类社会进步做出了重大贡献。在金融保险领域亦是如此,自从用数学知识和统计学方法来解释破产问题的那一刻起,纷繁复杂的经济学问题就变得有迹可循,破产理论就是在此基础上发展而来的。基于保险经营过程建立的数学模型是破产理论的主要研究对象,运用统计学方法和随机过程知识对风险模型进行分析,能帮助决策者够更好地预测经营风险和盈利水平。本文将采用概率论、随机过程和微分方程的知识研究不同风险模型的性质,力求为风险管理提供理论上的支持。本文研究的主要内容及结论如下:一、第二章讨论了带投资边界和常数分红边界的对偶风险模型的分红问题。首先,根据初始盈余不同,分别求出分红折现期望满足的积分--微分方程及边值条件;然后,根据边值条件求出收益额服从指数分布时的显示解;最后,得到了不同初始盈余下分红折现总额的矩母函数和n-阶矩满足的积分--微分方程。二、第三章用随机观察的方法研究了带利率的对偶风险模型。假设盈余只能被随机观察到,利用随机分析理论求得期望折现惩罚函数满足的积分--微分方程及边值条件;然后,根据边值条件求得破产时间的拉氏变换。三、第四章在的第二章的基础上研究了带投资边界的扰动对偶风险模型的分红问题,求得不同初始盈余下分红折现总量的矩母函数和n-阶矩满足的积分--微分方程,当n-阶矩中的n(28)1时,得到分红折现期望的函数表示。一方面,保险公司需要设计多种多样的险种来满足投保人的不同需求,破产理论的发展为险种多样性提供了理论上的支持。另一方面投资者总是想减小损失概率的同时尽可能追求更多收益,不同分红策略和投资方案的风险模型有利于投资者做出最优决策。对偶风险模型能够解释经典风险模型无法解释的问题,它能够形象地描述那些有连续花费而收入不确定的行业。基于此,研究带投资利率的对偶风险模型就有较强的理论意义和较广的实用价值。