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研究范数的可导性对于无穷维空间中凸函数的理论具有重要意义.本文研究了广义Banach空间lp(X,Γ)中范数||·||p的可导性,并得到了如下结论:
(1)当p=1时,范数||·||1在l1(X,Γ)中任意点都不是Fréchet-可导的,但在任意分量都不为零的点都是G(a)teaux-可导,并且在l1(X,Γ)中存在一个等价范数||·||e,使得||·||e在l1(X,Γ)中非零点是G(a)teaux-可导但在任意点都不是Fréchet-可导.
(2)当1<p<+∞时,lp(X,Γ)上的范数||·||p在每一非零点是Fréchet-可导的.
(3)|1||∞在l∞(X,Γ)中某一x点Fréchet-可导与G(a)teaux-可导等价,并且||·||∞在x点Fréchet-可导(G(a)teaux-可导)的充分必要条件是存在α0∈Γ,使得||xα0||> supα≠α0||xα||,还讨论了当x不满足该充分必要条件时范数||·||∞在x点沿某些方向h的可导性.