【摘 要】
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Logistic系统是非线性科学研究的热点问题之一,其中高维Logistic映射的混沌特征对生态学等领域的研究有实际意义.在一维混沌映射过渡到高维映射的研究中,二维Logistic系统和相关衍生系统有着重要的衔接作用,其倍周期分岔和混沌控制的相关研究对于求解和控制更复杂的高维动力系统的性态有着重要参考价值.具有非局部特性的分数阶(非整数阶)混沌系统适合刻画描述具有记忆、遗传等特性,展现出丰富的动力
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Logistic系统是非线性科学研究的热点问题之一,其中高维Logistic映射的混沌特征对生态学等领域的研究有实际意义.在一维混沌映射过渡到高维映射的研究中,二维Logistic系统和相关衍生系统有着重要的衔接作用,其倍周期分岔和混沌控制的相关研究对于求解和控制更复杂的高维动力系统的性态有着重要参考价值.具有非局部特性的分数阶(非整数阶)混沌系统适合刻画描述具有记忆、遗传等特性,展现出丰富的动力学现象,更加适宜刻画现实系统的物理学特性,展现出广阔的应用前景.本文研究由Logistic方程衍生的时滞Wright微分方程系统、二维Logistic混沌系统的分数阶模型,将之推广到分数阶情形,并引进一种离散化方法,进而对模型动力学特性进行全面探讨.1.对分数阶时滞Wright微分方程进行动力学分析.目前,对于非线性分数阶时滞微分方程解的存在唯一性的研究较为初步,且传统的Lipschitz条件在解决实际问题时有一定的局限性,故本文利用Banach不动点定理证明了系统解的存在唯一性.之后利用Jury判据和不动点定理分析了离散后系统不动点的类型以及局部稳定性,得到Neimark-Sacker分岔的严格证明.数值仿真采用相图、分岔图、Lyapunov指数图来研究分数阶次α,时滞τ,系统参数ρ变化时对系统通向混沌的影响,所得结果与理论分析一致.2.在已有的二维整数阶Logistic模型研究的基础上,建立一类带有耦合项的二维分数阶Logistic混沌动力系统并对其动力学特性进行研究.由于不动点的稳定性与系统的Jacobi矩阵的最大特征根在不动点的取值有关,本文给出了在参数空间内二维Logistic差分模型发生第一次分岔的边界方程,指出系统是按Pomeau-Manneville途径走向混沌的,其间歇性与Hopf分岔有关.着重探讨随着参数变化所导致的二维吸引子的转化途径,揭示了混沌运动的奇异特征,数值模拟可观察到明显的倍周期分支以及通向混沌与混沌区域中的各种周期窗口.研究结果表明由Logistic方程衍生的时滞Wright微分方程系统、二维Logistic混沌系统推广到分数阶领域是可行的,采用的离散化方法对模型有着良好适用性,且本文的有关做法和结论对分数阶模型的研究具有一定的理论指导意义.
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