本文以粘弹性材料的数学模型为研究对象.主要讨论这些模型的适定性以及与之相关的控制问题.所谓粘弹性材料,就是在荷载的作用下,既有瞬时弹性响应.又有持续内部摩擦效应的一类材料.这类材料具有所谓的记忆功能.这种粘弹性或者记忆功能在数学上通常由积分-微分项加以描述和刻画,其中A是诸于△,△2等的某个微分算子.g是所谓的记忆核函数.当t=+∞时,我们称之为无限记忆；而当0<t<+∞时,我们称之为有限记忆.所以,我们论文题目中所说的粘弹性模型,主要是指含有(1)这一项的积分-微分方程的某些初边值问题.近半个世纪以来,粘弹性力学及其相应的数学理论得到了快速的发展.目前,关于粘弹性模型的研究如火如荼,研究结果层出不穷.但由于粘弹项(1)的出现大大提高了问题的复杂程度,目前仍然有很多值得进一步研究的问题.这也为数学工作者们提供大显身手的舞台.本文的主要内容如下：第1章从适定性和控制两个方面介绍问题的研究背景及本文的主要工作.第2章是预备知识,集中介绍本文要用到的数学术语和数学工具.第3章,我们首先讨论一类具内部反馈时滞的粘弹性波方程解的存在唯一性和能量衰减性.解决了M. Kirane和B. Said-Houari于2011年在Z. Angew. Math. Phys杂志上提出的公开问题,然后将相关的一些结论简单推广到边界反馈模型和四阶Euler-Bernoulli粘弹性板模型上.接下来,为了进一步讨论粘弹项和源项之间的竞争关系,我们讨论了一类具非线性源的Euler-Bernoulli板模型的Blow-up性质,获得了一些对粘弹项和源项竞争的直观认识.而在第4章中，我们研究了一类Euler-Bernoulli粘弹性模型的相关控制问题.具体来说,我们主要讨论了近似能控性和多点观测两方面的问题.对于近似能控性的讨论,我们先定义合适的函数空间Hθ，k,利用分离变量法，把所讨论系统的对偶系统的解精确写出并讨论其在所定义空间中的一些特有性质.然后，利用对偶关系和Hahn-Banach定理,得到系统在乘积空间Hθ,k2中的边界近似能控性结果.至于多点观测问题,我们先把系统的解写成一种特殊的级数形式,然后得到一个仅有单个观测点的能观性不等式,进而得到多个观测点的能观性不等式.最后,通过合理定义“观测信息量”,从信息论的角度对所得结果给出了合理解读,同时也解释了工程师们在实验中所获得的客观现象.