【摘 要】
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近几年,利用基于神经网络的深度学习技术求解偏微分方程成为研究的热点。本文首先介绍了神经网络的相关知识并得出观点:神经网络的核心是反向传播算法,反向传播算法的核心是梯度下降法,而梯度下降法的核心是自动微分,所以实现神经网络的关键在于实现自动微分。其次介绍了符号微分、数值微分、前向自动微分和反向自动微分等目前常用的自动微分技术,并比较了它们的优缺点。接着基于数值微分实现了数值微分神经网络解PDE模型、
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近几年,利用基于神经网络的深度学习技术求解偏微分方程成为研究的热点。本文首先介绍了神经网络的相关知识并得出观点:神经网络的核心是反向传播算法,反向传播算法的核心是梯度下降法,而梯度下降法的核心是自动微分,所以实现神经网络的关键在于实现自动微分。其次介绍了符号微分、数值微分、前向自动微分和反向自动微分等目前常用的自动微分技术,并比较了它们的优缺点。接着基于数值微分实现了数值微分神经网络解PDE模型、基于Tensorflow框架实现了反向自动微分神经网络解PDE模型。在实现前者的过程中,将神经网络和有限差分法中的数值微分相结合,使用n阶中心差商近似方程中的微分算子,使用1阶向前差商计算损失函数关于权重和偏置的梯度。在实现后者的过程中,使用了数据增强、xavier初始化、特殊比例的小批量数据集和随机失活等技巧,起到了降低模型复杂度、避免过拟合、加速模型收敛的作用。最后使用两种神经网络模型进行数值实验。数值微分神经网络解PDE模型的优点是空间复杂度低,且当使用Sigmoid激活函数时即时网络很深也不会出现梯度消失问题;缺点是时间复杂度高,且精度不高、只能解决较为简单的偏微分方程问题。反向自动微分神经网络解PDE模型的优点是时间复杂度低,且精度高、能够解决复杂的偏微分方程问题;缺点是空间复杂度高、需要消耗大量的存储空间和算力,且在使用Sigmoid激活函数时可能出现梯度消失问题。
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