【摘 要】
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非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景,建立处理许多非线性问题的若干一般性理论和方法.它的研究成果可以广泛应用于各种非线性微分方程、积分方程和其他各种类型的方程,以及计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统、经济数学等许多领域.目前非线性泛函分析主要内容包括拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调型映射理
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非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它以数学和自然科学各个领域中出现的非线性问题为背景,建立处理许多非线性问题的若干一般性理论和方法.它的研究成果可以广泛应用于各种非线性微分方程、积分方程和其他各种类型的方程,以及计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统、经济数学等许多领域.目前非线性泛函分析主要内容包括拓扑度理论、临界点理论、半序方法、解析方法和单调型映射理论等.非线性整数阶微分方程边值问题是微分方程理论中的一个重要课题.由于其重要的理论价值和实际背景,一直被许多研究者所关注,并取得丰富研究成果.近几年,分数阶微分方程在扩散和运输理论、混沌与湍流、粘弹性力学及非牛顿流体力学等诸多领域得以广泛应用.已经引起国内外数学及自然科学界的高度重视,成为国际热点研究方向之一,深入探讨各种非线性分数阶微分方程边值问题,具有重要的理论意义和应用价值.本文主要利用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、不动点指数理论、Kras-noselskii不动点定理、单调迭代方法和上下解方法等研究了几类非线性分数阶（奇异）微分方程（方程组）边值问题的正解,这中间包括一些高奇性问题、非局部问题、半正问题等,得出一些新的深刻有趣的结果.本文共分五章.第一章简要介绍分数阶微积分的发展历史与基本概念和定理.第二章得出三类分数阶奇异微分方程非局部边值问题正解的存在性、唯一性.§2.1建立一类m-点奇异边值问题正解的存在性、唯一性；§2.2建立一类高阶m-点奇异边值问题正解的存在性结果；§2.3利用线性算子的第一特征值讨论带有积分边界条件的高阶分数阶奇异边值问题,其中积分边界条件由带有广义测度的Riemann-Stieltjes积分给出.第三章研究两类分数阶奇异微分方程半正边值问题正解的存在性.第四章讨论具有Caputo分数阶导数微分方程边值问题的正解.§4.1得出一类分数阶奇异微分方程正解的存在性,其非线性项可以变号且允许下方无界；§4.2得出一类分数阶奇异微分方程组正解的存在性,其非线性项可以变号且允许下方无界.§4.3给出一类分数阶微分方程边值问题正解存在的充分必要条件.第五章讨论一类Banach空间中分数阶微分方程非局部边值问题的正解.
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