有限元方法是现今求解微分方程的成熟有效的数值方法之一,被广泛的应用于科学计算和工程领域中。其中非协调有限元法在解决固体力学以及流体力学的实际问题时能够获得稳定的数值解,例如求解与弹性力学相关的问题、Darcy-Stokes以及Stokes问题等。使用有限元方法去求解微分方程时,单个有限元的三要素为:单元的几何形状、形状函数空间以及自由度。无论从理论分析上还是实践上有限元方法都离不开对求解区域的网格剖分,其中三角形剖分是一种广泛适用的剖分,且网格生成比较简单。然而,对于四边形剖分却鲜有学者深入研究。对于某些特殊区域,相较于三角形剖分,采用四边形剖分可以减少单元的个数,且每个顶点连结的单元个数也将显著降低。本文主要对四阶奇异摄动问题、Darcy-Stokes问题和Stokes问题,在任意四边形上构造了三个非协调有限元,并从理论上证明了其收敛性,最后通过具体的数值实验,验证了此三种有限元的收敛性。具体内容如下:（1）针对四阶奇异摄动问题,我们提出了一个新的四边形单元。对任意凸四边形Q,形状函数空间由二次一阶光滑的样条函数空间S21（Q*）和四个泡沫函数组成。自由度定义为四条边的顶点和中点处的函数值,以及四条边上的法向导数积分均值。每个四边形单元上定义了十二个局部基函数,然后通过引入新的参考单元Q和仿射变换,可以将局部基函数显式表达而无需求解线性方程组。此外,所有积分都可以在参考单元上完成,因为雅可比行列式是常数,所以计算效率更高。更具体来说,我们可以计算出每个四边形单元的局部刚度矩阵。对于四阶奇异摄动问题,我们的C0有限元方法对于摄动参数是一致收敛的。（2）对于Darcy-Stokes问题,在任意凸四边形网格上我们构建了一种新的混合有限元方法。基于经典的速度-压强公式,同时利用了样条的方法,我们着重研究了符合H（div）-协调的有限元方法。其中速度空间是基于四边形上的样条空间,并且采用分片常数元来逼近压强。由于此单元是H（div）-协调的,我们需要保证Darcy-Stokes问题右端项的低正则性。得到收敛结果之后,本文结合四阶奇异摄动单元和新混合元的有限元空间构造了离散de Rham复形。此外,局部基函数可以通过Piola变换显式表达。（3）首先构造了一个四阶椭圆问题的非C0非协调高阶收敛理论框架。基于此框架,本文构造了一个高阶收敛的双调和四边形单元。在此基础上,我们在四边形网格上构造了一种新的混合有限元求解Stokes问题。所涉及的速度空间仅由多项式组成,且采用分片常数元去逼近压强。对于Stokes单元的速度空间,所有自由度都在边上,这种自由度选择可使我们的单元有较低的带宽。离散速度在离散H1半范数下是二阶收敛的,并且通过后处理可以将压强解的收敛阶提高到二阶。