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本论文主要研究两部分内容：第一部分是在非全局Lipschitz条件下,研究随机微分方程的数值分析,并回答两个问题：(a)如果随机微分方程的精确解是稳定的,数值解是否是稳定的?(b)在第一个问题的基础上,当步长充分小时,数值解稳定的Lyapunov指数是否会收敛到精确解的Lyapunov指翔第二部分研究各种随机因素(Brown运动,Poisson过程和Markov链)在几乎必然和p阶矩意义下诱导的稳定性(随机稳定化)。论文主要包括如下8章：第一章介绍了各种随机微分方程的一些应用背景,以及其数值方法和随机稳定化的研究现状,并给出本论文的工作概要及贡献。第二章研究非全局Lipschitz系数的随机常微分方程的分裂步theta-Euler方法(SSTE)和随机线性theta-Euler(SLTE)方法。当漂移系数满足单边Lipschitz条件和多项式Lipschitz条件,扩散系数满足全局Lischitz条件时,本章得到了这两类方法的强收敛阶1/2和指数均方稳定性以及指数衰减率。第三章研究非全局Lipschitz系数的随机常微分方程的分裂步theta-Milstein(SSTM)方法和随机线性theta-Milstein (SLTM)方法。证明了这两类theta-Milstein方法在类似第二章的条件下都是以阶1强收敛,同时,本章也得到了这两类theta-Milstein方法的指数均方稳定性和指数衰减率。第四章提出显式的半驯服欧拉(Semi-Tamed Euler,简写为STE)方法来研究非全局Lipschitz系数的随机常微分方程,其中漂移系数满足单边Lipschitz条件且由Lipschitz部分和非Lipschitz部分组成。本章证明了STE方法的强收敛阶是1/2,同时证明了存在步长界使得STE方法可以保持精确解的指数均方稳定性及Lyapunov (?)旨数界。第五章研究了随机微分延迟方程(SDDE)的SSTE和SLTE方法的收敛性和稳定性。一方面研究了这两类theta-Euler方法在非全局Lipschitz条件下的强收敛阶,另一方面研究了其在耦合的条件下的指数均方稳定性,这些结论与第二章的收敛性和稳定性结果类似。第六章研究中立型随机微分延迟方程(NSDDE)的精确解和数值解的指数均方稳定性。首先给出了一个改进的指数均方稳定性结果,然后研究了两类theta-Euler方法(SSTE和SLTE)的指数均方稳定性,并且得到了类似于上一章中的SDDE的稳定性结果。第七章的研究对象是结构切换的跳扩散系统,其包含三类随机过程：Brown运动,Poisson过程和Markov切换。本章研究了这三种随机因素对系统的p阶矩和几乎必然稳定性和随机稳定化的影响。首先研究线性系统的稳定性和稳定化,然后研究了满足单边线性增长条件的系统的稳定化,最后研究了含有有限爆破时的非线性系统的随机稳定化,其中正则化(压制爆破)和稳定化是通过引入合适的扩散以及Poisson跳和Markov切换扰动来实现的。第八章研究带Markov切换和Poisson跳的随机常微分方程的数值稳定性和随机稳定化分析。针对线性系统,研究了EM方法的保p阶矩指数稳定性和几乎必然指数稳定性；针对非线性系统,研究了不同的增长条件下的EM方法和BEM方法的几乎必然指数稳定性。这些结论表明这三种随机因素都可以作为随机稳定化因子,且对系统的精确解和数值解的稳定性起到积极的作用。