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无网格法凭借其离散实施上的便捷性和求解问题上的灵活性,受到国内外力学研究者的广泛关注,是近十几年来计算力学领域的重要研究专题之一。 无网格法的计算稳定性与近似函数的计算稳定性密切相关,而移动最小二乘近似(MLS)是无网格法中应用非常广泛的一种近似函数构造方法,因此对MLS的近似稳定性进行了重点研究。运用数学证明方法,给出了保证MLS近似稳定性的几何判别条件,提出了局部修正但非常必要的核近似方法,为MLS的稳定近似提供了简单而更为明确的理论依据。 无网格法作为一类基于散点求解技术的数值方法,在方法的实现上灵活多样,但缺少一种能够较为统一的收敛性理论解释机制,这样导致此类数值方法在理论支撑上还不够完整。基于此,介点原理被提了出来,并对介点原理进行了初步的理论阐述。按介点原理的观点,一种具有良好收敛性的无网格方法,需要介点的支持。研究发现,这个观点对基于区域求解的无网格方法是具有普遍适应性的。 根据介点原理,发展了3种新的无网格方法。基于有限点的变分法,提出了无网格全局介点法(MGIP)。基于介点的支撑域分离并保证导数近似精度的思想,提出了无网格介点法(MIP)。基于无网格介点法(MIP)和无网格局部彼得洛夫-伽辽金法(MLPG)的耦合求解思想,提出了无网格局部强弱式法(MLSW)。对MIP法进行了重点推介和检验,并对该法应用于求解泊松方程问题,2-D弹性力学问题,热传导问题,原子动力学问题等进行了数值验证。 为了探索无网格法在道路工程领域的应用性,对MIP法求解空间轴对称问题,材料不连续性问题等进行了研究,提出了轴对称层状体系的无网格求解方法。并通过一些经典轴对称问题,材料不连续问题,路面结构问题的数值计算,对所提方法进行了数值验证。 研究结果表明:介点确实有助于无网格法的计算收敛性,介点原理能够为无网格区域求解方法提供一个统一的收敛性理论解释,对强式无网格法的研究有一定理论指导意义,有助于无网格法向更为简洁与灵活的方向上发展。