【摘 要】
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Waring-Goldbach（华林-哥德巴赫）问题作为堆垒素数论的一个重要问题备受数论学家的广泛关注.它主要研究满足必要同余条件的正整数n表示为素数方幂之和的可能性,即方程n=p1k+···+psk的可解性,其中k是事先给定的正整数,pi是素数（i=1,2,···,s）.对于满足必要同余条件的充分大的正整数n,设H（k）为使上述方程有素数解的最小s值.为了考虑变量个数小于H（k）的相关问题,通常
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Waring-Goldbach（华林-哥德巴赫）问题作为堆垒素数论的一个重要问题备受数论学家的广泛关注.它主要研究满足必要同余条件的正整数n表示为素数方幂之和的可能性,即方程n=p1k+···+psk的可解性,其中k是事先给定的正整数,pi是素数（i=1,2,···,s）.对于满足必要同余条件的充分大的正整数n,设H（k）为使上述方程有素数解的最小s值.为了考虑变量个数小于H（k）的相关问题,通常的做法是考虑它的例外集E（N）,E（N）是指在满足必要同余条件的不大于N的正整数中不能表示为上述方程的正整数个数.作为经典华林-哥德巴赫问题的推广,数论学界开始关注一般形式的华林-哥德巴赫问题,即方幂次数不一定相同的华林-哥德巴赫问题.本文的主要工作是改进了不等次幂华林-哥德巴赫问题n=p12+p22+p33+p43+p54+p64的例外集结果.证明了除至多O(N17/192+ε)个例外,所有不超过N的偶数n均可以表示为两个素数的平方,两个素数的立方和两个素数的四次方之和（即定理1.1）.本文的结果改进了张敏和李金蒋[1]给出的O(N13/16+ε),赵晓东[2]给出的O(N17/42+ε).本文首先利用例外集之间关系的最新结果,将问题转化为研究方程n=p12+p23+p34+p44的例外集,然后利用Hardy-Littlewood圆法研究转化后问题的例外集.由于对于主区间的研究已经非常成熟和完备,本文利用最先进的技术和结论去处理余区间,改进了例外集的结果.同时,利用相似的方法,本文改进了刘玉辉[3]关于方程n=p12+p22+p33+p44+p54+p64的例外集结果,将O(N61/144+ε)改进为O(N13/96+ε).此外,利用定理1.1中处理余区间的方法,本文还研究了两个其他的一般型华林-哥德巴赫问题,改进了Br¨udern[4]和李太玉[5]关于几个素数的平方与一个素数的k次方之和的例外集结果,得到了不等次幂华林-哥德巴赫相关问题n=a1p1+a2p22+a3p33+a4p44+a5p55的Baker常数,并且简单叙述了证明方法.
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