【摘 要】
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Tropical代数理论是在Tropical半环上发展起来的重要的代数学分支.它的研究已经被广泛地应用于离散事件系统的分析、控制理论、组合优化和调度问题、形式语言和自动机理论、统计推断、代数几何等学科领域.Tropical半环上矩阵的乘法群是Tropical代数理论的主要研究对象.本文引入Tropicaln×n矩阵的广义中心化子群和中心化子群,研究矩阵广义中心化子群和中心化子群中元素的一些性质,给
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Tropical代数理论是在Tropical半环上发展起来的重要的代数学分支.它的研究已经被广泛地应用于离散事件系统的分析、控制理论、组合优化和调度问题、形式语言和自动机理论、统计推断、代数几何等学科领域.Tropical半环上矩阵的乘法群是Tropical代数理论的主要研究对象.本文引入Tropicaln×n矩阵的广义中心化子群和中心化子群,研究矩阵广义中心化子群和中心化子群中元素的一些性质,给出特殊矩阵广义中心化子群以及特殊矩阵传递中心化子群的结构刻画.此外,Tropical矩阵上的线性保持问题也是一个热门的研究课题,本文分别研究保持Tropical半环及其子半环上矩阵弱传递闭包和强传递闭包的线性算子.主要内容如下:1.引入Tropical n×n矩阵的广义中心化子群并证明Tropicaln×n矩阵的广义中心化子群是其两个正规子群的乘积.在此基础上,证明当Tropicaln×n矩阵所关联的图连通时,矩阵的广义中心化子群是其两个正规子群的内直积.2.引入Tropical n×n矩阵的中心化子群并证明任一Tropicaln×n矩阵的中心化子群都与一个有限2-闭置换群同构.进一步,有限置换群是2-闭的当且仅当它与一个幂等正规矩阵的中心化子群同构.此外,给出非强正则的幂等正规矩阵的传递中心化子群的结构刻画.同时,对于具有传递中心化子群的强正则幂等正规矩阵,当的中心化子群等于某个非强正则幂等正规矩阵的传递中心化子群时,对的结构进行观察.3.作为上面内容的继续,首先给出Tropicaln×n幂等正规矩阵的Frobenius正规型的描述.然后利用幂等正规矩阵的Frobenius正规型,刻画可约的幂等正规矩阵的传递中心化子群的结构.同时,对于具有传递中心化子群的不可约幂等正规矩阵,如果的中心化子群等于某个可约幂等正规矩阵的传递中心化子群,也对的结构进行观察.4.研究Tropical矩阵上的线性保持问题.首先分别刻画保持Tropical半环及其子半环上矩阵弱传递闭包和强传递闭包的可逆线性算子.其次分别刻画强保持弱传递闭包和强传递闭包的可逆线性算子.最后证明当n2时,强保持二元布尔半环上n×n矩阵弱传递闭包的线性算子是可逆的,并证明当n=2时,强保持二元布尔半环上n×n矩阵强传递闭包的线性算子也是可逆的.同时,给出具体的例子说明当n=2时,存在非可逆的强保持二元布尔半环上n×n矩阵强传递闭包的线性算子.
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